Гамильтон потратил много лет на поиски алгебраического поля, которое стало бы обобщением комплексных чисел, и его поиски в конце концов увенчались успехом: в 1843 году он открыл кватернионы.
Кватернионы представляют собой сочетания символов вида
a·1 + b·i + c·j + d·k
(обычно они записываются без единицы — a + b·i + c·j + d·k, где а, Ь, с и d — вещественные числа, 1 — единица, операция умножения является дистрибутивной, а также выполняется следующее условие: х2 = j2 = k2 = ijk = —1. Таблица умножения 1, i, j и k выглядит так:
Множество кватернионов образует поле, которое заключает в себе комплексные числа (достаточно рассмотреть кватернионы при с = d = 0). По легенде, идея о кватернионах пришла в голову Гамильтону, когда он проходил по мосту Брум Бридж в Дублине.
Это открытие показалось всем столь удивительным и столь подлинно ирландским, что много лет спустя Имон де Валера возглавил церемонию открытия памятной таблички на этом мосту. На табличке было написано:
«Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон, во вспышке гения, открыл формулу умножения кватернионов х2 = j2 = k2 = ijk = —1, записав ее на камнях этого моста».
На этом история закончилась бы, если бы Имон де Валера (для друзей — Дев) не изучал математику и сам не был математиком. В 1913 году он предложил свою кандидатуру на должность преподавателя математики, но его не утвердили, хотя Артур Конвей, один из его преподавателей, говорил, что претендент «глубоко разбирался в теме». Когда в 1916 году де Валера находился в тюрьме, ожидая расстрела, то в ночь перед расстрелом он с гордостью написал на стене камеры вместо эпитафии:
х2 = j2 = k2 = ijk = —1
Любить математику больше, чем он, и вправду сложно. В конце концов де Валера спасся, занялся политикой, и математика потеряла специалиста по кватернионам, однако политика от этого только выиграла. Он пережил войну (единственным опрометчивым его шагом стало выражение соболезнований Германии в связи со смертью Гитлера) и стал президентом независимой Ирландии.
Памятная табличка на мосту Брум Бридж.
Бесполезная теория
Теория множеств составляет важную часть фундамента всей математики, однако попытки преподавать ее в школах вызвали массу разногласий и споров, которые в конце концов по большей части удалось разрешить. Сегодня никто не спорит с тем, что теория множеств занимает центральное место в изучении науки, однако в начале XX века эта дисциплина, созданная благодаря усилиям Георга Кантора (1845–1918) и Рихарда Дедекинда (1831–1916), не вызвала большого интереса в академических кругах. В Принстонском университете был организован совет ученых с целью обсуждения программы преподавания математики. Предметом этой истории, которую рассказал физик и математик Фримен Дайсон (род. 1923), стал разговор между астрономом сэром Джеймсом Хопвудом Джинсом (1877–1946) и специалистом по топологии Освальдом Вебленом (1880–1960). Учебная программа казалась несколько перегруженной, и Джинс предложил облегчить ее: «Мы могли бы исключить теорию множеств — в конце концов, этот раздел математики никогда не будет особенно важным для физиков», — сказал он. Однако сэр Джеймс оказался плохим провидцем, и это подтвердят те, кто изучает квантовую механику и повсеместно использует множества.
Следуем правилам вежливости
В какой бы стране мира ни находился математик, если он увидит формулу, то сможет понять ее. Хотя научные статьи печатаются на самых разных языках (большая часть работ публикуется на английском, за ним следуют французский, русский и пиньинь), но даже в странах, находящихся за 10 тысяч километров друг от друга, используются одинаковые математические символы и сокращения. Равные величины всегда будут обозначаться знаком «=», а символ «
» всегда означает «принадлежит к».
Когда любой человек, знакомый с математикой, видит выражения, подобные
он прекрасно понимает их, даже не зная, что эта формула описывает закон сохранения импульса в жидкости.
Математическая мысль следовала многими трудными путями, пока не обрела нынешнюю форму: теперь математики всего мира могут понять друг друга, так как используют общий метаязык. Воздадим дань уважения тем, кто, часто из соображений простоты, вводил универсальные знаки, как, например,
и тем, кто соглашался использовать обозначения в своих работах. До появления этих символов и сокращений математика была чрезвычайно многословной и непонятной.
Попробуйте описать привычное всем квадратное уравнение
словами, не используя ни показатели степени, ни буквы, ни знаки =, + и —, ни знак деления, ни √, ни даже логический символ <=>. Посмотрим, что у вас получится.
Авторы многих из этих знаков не слишком известны: так, например, скромный священник Уильям Отред (1574–1660) первым стал обозначать умножение знаком х, ввел сокращения sinα и cosα, а также изобрел круговую логарифмическую линейку. За всю жизнь он написал всего один труд объемом 88 страниц и в свое время считался математиком-любителем. В тот период эта наука, можно сказать, пребывала в нежном возрасте.
Когда же математика повзрослела? Один из ответов звучит так: когда было напечатано достаточно книг по математике, чтобы стало возможным определить универсальные обозначения. В 1875 году в Великобритании был учрежден комитет по унификации печатных книг, а также используемых при печати символов и сокращений. Много воды утекло с тех пор, и на свет появились совершенно новые разделы математики и математические теории, однако общие обозначения остались неизменными.
У логики есть своя логика
Американский математик и логик Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000) запомнился прежде всего подробными исследованиями взаимосвязей между обычным языком и языком науки. Многие ученые разделяли его точку зрения, высказанную в активной дискуссии с Жаком Деррида и другими деконструктивистами, которых Куайн считал псевдофилософами, а то и вовсе шарлатанами. Ван, как называли его друзья, много печатал на машинке, и как-то раз, направив свой ум в практическое русло, решил поменять местами несколько клавиш на клавиатуре. В частности, чтобы сэкономить время, он заменил символы «1», «!» и «?» другими, особыми логическими знаками, которые часто встречались в его записях. Как же Куайн обходился без привычных всем восклицательного и вопросительного знаков? Когда друзья спросили его об этом, то получили абсолютно логичный ответ: «Видите ли, в моем кабинете я работаю только с достоверными результатами».
Сложное домашнее задание
Американский математик Джордж Бернард Данциг (1914–2005) известен среди специалистов по линейному программированию как автор алгоритма, применяемого в решениях симплекс-методом, который играет основную роль в дисциплине под названием исследование операций. Среди любителей анекдотов он известен тем, что принял за домашнюю работу задачи, являвшиеся темой серьезных исследований.
Но эта история заслуживает более подробного рассказа.
В 1939 году одним из университетских преподавателей Данцига стал известный польско-американский математик Ежи Нейман (1894–1981), который вел курс статистики. Как-то раз Данциг опоздал на занятия и попросил Неймана не стирать написанное на доске, так как не хотел терять нить рассуждений. Он обратил внимание на два выражения, которые посчитал домашним заданием, и переписал их к себе в тетрадь. Придя домой, Данциг принялся за домашнее задание, однако оно оказалось на удивление трудоемким. Студент потратил много времени и сдал работу с опозданием. «Оставь ее в углу», — сказал Нейман, кивнув на стол, заваленный огромной кипой бумаг. Данциг молча положил свою работу сверху.
Прошло несколько недель, и однажды в воскресенье Данциг услышал звонок в дверь. Перед ним стоял взволнованный Нейман, державший в руках исписанные листы. «Быстро прочитай все, что здесь написано, — я намерен сегодня же передать это для публикации». Нейман держал в руках домашнюю работу Данцига, изложенную в виде статьи и дополненную предисловием самого Неймана. Данциг ошибочно принял за домашнее задание две важные статистические гипотезы, которые никому до этого не удавалось доказать. Он не знал об этом и доказал их, посчитав гипотезы всего лишь непростыми задачами.
