Греческая цивилизация погибла под натиском римских и мусульманских завоевателей. С ее падением Европа вступила в период Средневековья, продолжавшийся целое тысячелетие — с 500 по 1500 г. Главенствующую роль в средневековой культуре играла церковь, рассматривавшая жизнь на Земле как подготовку к загробной жизни на небесах. Исследование природы любыми средствами, как математическими, так и нематематическими, считалось предосудительным занятием. Тем не менее отдельные мыслители и даже целые группы (Роберт Гроссетест, Роджер Бэкон, Джон Пекхэм, мертонианцы из Оксфорда, к числу которых принадлежали Уильям Оккама, Томас Брадвар, Абеляр из Бата, Тьерри из Шартра и Уильям из Конка) предпринимали попытки продолжить математические и физические исследования. В частности, они видели в математике не противоречащее истине описание физических явлений, и некоторые из них, главным образом Абеляр и Тьерри, настаивали на экспериментальном изучении природы. Все эти мыслители считали, что реальный физический мир в основе своей рационален и математическое рассуждение способно дать знание о нем. Не следует забывать и о вкладе, который в период Средневековья внесли в математику индийцы и арабы и который постепенно вошел в общий свод математического знания.
Началом современного периода, о котором в основном и пойдет речь в нашей книге, принято считать конец XV — начало XVI вв. Что касается XVI в., то его часто называют эпохой Ренессанса — возрождения греческой мысли. Для нас сейчас несущественно, каким образом греческие манускрипты попали в Италию, ставшую центром Возрождения.
Европейцы не сразу откликнулись на новые веяния. На протяжении этого периода, который нередко называют гуманистическим, европейские мыслители не столько следовали высоким целям древних греков, сколько изучали труды греческих авторов, но примерно к 1500 г. европейские умы, воспринявшие направленность античной мысли — приложение разума к исследованию природы и поиск математического плана, лежащего в основе мироздания, — принялись действовать. Однако они столкнулись с серьезной проблемой, поскольку цели, которые ставили перед собой греки, находились в противоречии с культурной традицией, сложившейся в Европе того периода. В то время как греки не сомневались, что природа устроена на математических принципах и неизменно и неуклонно следует некоему идеальному плану, мыслители конца Средневековья приписывали весь план и все действие христианскому Богу. Именно Бог был для них творцом и создателем плана мироздания, и все явления природы неукоснительно следовали предначертаниям этого высшего существа. Весь мир — творение Бога и беспрекословно подчиняется его воле. Математики и естествоиспытатели эпохи Возрождения, будучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину. Но католическое вероучение отнюдь не включало в себя греческое учение о математическом плане, лежащем в основе природы. Каким же образом можно согласовать тогда попытку понять созданное Богом мироздание с поиском математических законов природы? Пришлось добавить (к уже существовавшим учениям) новый тезис — о том, что христианский Бог сотворил мир на математической основе. Католическое вероучение, постулирующее первостепенное значение попыток понять волю Господа и его творения, приняло форму поиска математического плана, заложенного Богом в основу мироздания. Как мы вскоре убедимся, узнав некоторые подробности, работа математиков на протяжении XVI-XVIII вв. была по существу религиозным исканием. В поисках математических законов природы они священнодействовали, раскрывая славу и величие творения божьего.
Математическое знание, истина о плане, положенном Богом в основу мироздания, при таком подходе обретали столь же боговдохновенный характер, как и любая строка Священного писания. Разумеется, смертным не дано постичь божественную мудрость плана с той полнотой и ясностью, с какой она ведома самому Господу Богу, но люди могли смиренно и с подобающей скромностью по крайней мере пытаться приблизиться к божественному разуму и понять, как устроен мир.
Можно пойти дальше и утверждать, что математики XVI-XVIII вв. были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и настойчиво стремились найти их, ибо исходили из априорного убеждения, что Бог и эти законы включил в общую схему мироздания. Каждое открытие закона природы провозглашалось как еще одно свидетельство мудрости Бога, а не проницательности исследователя. Убеждения и взгляды математиков и естествоиспытателей распространились по всей Европе эпохи Возрождения. Незадолго до того обнаруженные работы греческих авторов противостояли глубоко религиозному христианскому миру, и духовные лидеры Возрождения, рожденные в одном мире, но тяготевшие к другому, слили учения обоих миров воедино.
Наряду с этим новым интеллектуальным увлечением стало приобретать все более широкую поддержку направление, основанное на идее «назад к природе». Многие естествоиспытатели отвергли нескончаемое умствование на основе догматических принципов, туманных по смыслу и оторванных от опыта, и обратились к самой природе как источнику подлинного знания. К началу XVII в. в Европе сложились предпосылки того, что нередко называют «научной революцией». Многие события способствовали или ускорили ее наступление: географические экспедиции открыли новые земли и народы; изобретение телескопа и микроскопа позволило обнаружить новые явления; компас облегчил навигацию в условиях открытого моря; гелиоцентрическая теория Коперника (см. гл. IV) заставила по-новому взглянуть на нашу планетную систему. Реформация пошатнула догмы католицизма. Математика вскоре снова стала играть главную роль — ключа к природе.
Бегло обозревая исторический фон, на котором происходило развитие европейской математики, мы стремились главным образом показать, что математика и применение ее к исследованию природы (основная тема последующих глав нашей книги) не возникли неожиданно, как гром среди ясного неба. Свое внимание мы сосредоточим не на элементарной математике, дающей средства для корректировки и расширения нашего знания о явлениях, в основном доступных нашим органам чувств, а на успехах, достигнутых математикой в открытии и описании явлений, либо не доступных непосредственному восприятию, либо вообще не воспринимаемых нами. При этом нам не понадобится постигать тонкости математических методов, но важно будет понять, каким образом математика позволяет описывать физические явления и получать знание о них.
Каковы существенные особенности математического метода? Первая отличительная особенность — введение основных понятий. Некоторые из таких понятий, например точка, линия и целое число, подсказаны непосредственно материальным, или физическим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий могут служить понятия отрицательного числа, буквенные обозначения классов чисел, комплексные числа, функции, всевозможные кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа, дифференциальные уравнения, матрицы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной(мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую интуитивную основу в физических явлениях. Но хотя производная и связана с физическим понятием скорости, ее в гораздо большей степени можно рассматривать как конструкцию, созданную разумом, причем на качественно совершенно ином уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.
На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу вызывали весьма настороженное отношение. Даже понятие отрицательного числа сначала было отвергнуто серьезными математиками. Тем не менее каждое новое понятие, хотя и неохотно, принималось после того, как становилась очевидной его полезность в приложениях.
Вторая существенная особенность математики — ее абстрактность. Платон в диалоге «Государство» так сказал о геометрах:
