Области, в которых состояние равновесия неустойчиво и происходит П. в. к., как уже указывалось, лежат вблизи значений w0 /w = 1/ 2 , 1, 3 /2 ,... (рис. 3 ) и зависят от относительной амплитуды изменений параметра a. Чем больше эта амплитуда, тем шире область, т. е. тем при большем отличии w0 /w от 1 /2 , 1 и т.д. всё ещё наблюдается П. в. к. Вне областей неустойчивости П. в. к. не наступает и колебания в системе отсутствуют (в отличие от «обычного» возбуждения вынужденных колебаний, когда и вдали от резонанса слабые вынужденные колебания всё же возникают). Вблизи значений w0 /w= 1 /2 , 1, 3 /2 ,... П. в. к. наступает, как видно из рис. 3, при сколь угодно малых амплитудах изменений параметра. Это — следствие того, что мы пренебрегли потерями энергии, всегда существующими в реальной колебательной системе. Если учесть потери энергии, то области, в которых состояние равновесия неустойчиво (пунктир на рис. 3), уменьшаются. Как и следовало ожидать, при наличии потерь неустойчивость даже в отсутствие расстройки наступает только при достаточно большой амплитуде изменений параметра, когда вклад энергии от периодического изменения параметра превосходит потери. Т. о., вследствие потерь энергии, для П. в. к. всегда существует порог. В системах с большими потерями этот порог поднимается выше предела возможных изменений параметра сначала для более высоких отношений w0 /w, а затем и для w0 /w= 1 /2 , т. е. явление П. в. к. вообще не может возникнуть.
Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959, гл. Ill, §9; Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов, т. 4, М., 1955 (Лекции по колебаниям, ч. 1, лекции 18—19).
С. М. Хайкин.
Рис. 1. а — параметрическое возбуждение колебаний струны; б — вынужденное колебание струны.
Рис. 2. а — устройство маятника с переменной длиной подвеса; б — схема движения тела маятника за один период.
Рис. 3. Области, в которых возможно параметрическое возбуждение колебаний.
Параметрическое представление
Параметри'ческое представле'ние функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных параметров . В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х , у ) = 0 может быть геометрически истолкована как уравнение некоторой плоской кривой. Любую величину t , определяющую положение точки (х , у ) на этой кривой (например, длину дуги, отсчитываемой со знаком + или — от некоторой точки кривой, принятой за начало отсчёта, или момент времени в некотором заданном движении точки, описывающей кривую), можно принять за параметр, в функции которого выразятся х и у :
x = j(t ), у = y(t ). (*)
Последние функции и дадут П. п. функциональной зависимости между х и у , уравнения (*) называют параметрическими уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости x 2 + y 2 = 1 имеем П. п. х= cos t , у = sin t (0 £ t < 2p) (параметрические уравнения окружности); для случая зависимости х 2 —у 2 = 1 имеем П. п. ; (t ¹ 0) или также х = cosec t , y=ctg t (— p< t < p, t ¹ 0) (параметрические уравнения гиперболы). Если параметр t можно выбрать так, что функции (*) рациональны, то кривую называют уникурсальной (см. Уникурсальная кривая ); такой является, например, гипербола. Особенно важно П. п. пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида: х = j(t ), у = y (t ), z = c (t ). Так, прямая в пространстве допускает П. п. х = а + mt ; у = b + nt ; z = с + pt , винтовая линия — П. п. х = a cos t ; у = a sin t ; z = ct .
Для случая трёх переменных х , у и z , связанных зависимостью F (x , y , z ) = 0 (одну из них, например z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрическим образом служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра u и u (например, широта и долгота на поверхности шара), так что П. п. имеет вид: х = j(u, u), у = y (u, u); z = c (u , u). Например, для зависимости x 2 + y 2 = (z 2 +1 )2 имеем П. п. х = (u 2 —1 ) cos u; у = (u 2 + 1) sinu; z = u . Важнейшими преимуществами П. п. являются: 1) то, что они дают возможность изучать неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен; 2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством однозначных. Вопросы П. п. изучены особенно хорошо для аналитических функций. П. п. аналитических функций посредством однозначных аналитических функций составляет предмет теории униформизации .
Параметрон
Параметро'н, элемент автоматики и вычислительной техники, принцип действия которого основан на особенностях параметрического возбуждения и усиления электрических колебаний . Простейший П. представляет собой колебательный контур, настроенный на частоту f0 . При периодическом изменении под воздействием сигнала накачки с частотой fн , равной примерно 2f0 , одного из энергоёмких параметров контура в нём возникает колебание с частотой , когерентное по отношению к возбуждающему колебанию. При этом фаза возбуждённых в П. колебаний может принимать одно из двух отличающихся на 180° значений, условно обозначаемых (0, p), и сколь угодно долго находиться в этом состоянии. Эта способность П. выбирать одну из двух стабильных фаз называется свойством квантования фазы. П. как логический элемент или ячейка запоминающего устройства был запатентован в 1954 Э. Гото (Япония). На основе П. созданы счётчики, регистры, сумматоры, запоминающие устройства и системы управления ЭВМ.
По типу нелинейного элемента различают индуктивные П. (с ферритовыми сердечниками, магнитной плёнкой), ёмкостные П. (на параметрических полупроводниковых диодах, сегнетоэлектрических конденсаторах) и резистивные П. (на туннельных и др. полупроводниковых диодах с вольтамперной характеристикой, имеющей падающий участок). Скорость (тактовая частота f т ) переключения П. пропорциональна частоте накачки и меньше её примерно в 20—50 раз. Наиболее надёжными и дешёвыми являются одноконтурные индуктивные (на ферритовых сердечниках) П. с потребляемой мощностью 15—50 мвт , f т £ 100 кгц ; более экономичные (3— 6 мвт ) ёмкостные П. на конденсаторах имеют более высокое быстродействие (f т » 5 Мгц ); ещё больше быстродействие резистивных П., т.к. продолжительность процесса установления колебаний в них соизмерима с периодом собственных колебаний контура. В индуктивных П. на тонких магнитных плёнках или в ёмкостных П. на полупроводниковых диодах тактовая частота достигает 150 Мгц . В связи с разработкой параметрических усилителей и генераторов света появляется принципиальная возможность перехода к частотам оптического диапазона, что должно привести к существенному повышению быстродействия П.
Лит.: Параметроны. [Сб. ст.], пер. с япон., кн. 1—2, М., 1961—62; Параметроны в цифровых устройствах, М., 1968; Вишневецкий А. И., Немецкий Г. М., Параметроны и их применение в устройствах связи, М., 1968.
В. И. Медведев.
Параметры орбиты
Пара'метры орби'ты, величины, характеризующие ориентацию орбиты небесного тела (в том числе искусственного), её размеры и форму, а также положение небесного тела на орбите. В астрономии в качестве П. о. принимают обычно так называемые элементы орбиты (см. Орбиты небесных тел ).
