4. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте поросенка повернуться в противоположную сторону.
5. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките вишенку из бокала. «Пустой» бокал не обязательно должен стоять на ножке: он может лежать на боку. Передвигать вишенку запрещается.
6. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките оливу из бокала для коктейля. Как и в предыдущей задаче, пустой бокал не обязательно должен стоять. Передвигать оливу запрещается.
Поместив решения этих забавных головоломок, мы бы только испортили вам удовольствие. Сообщаем лишь, что первую задачу можно решить, передвинув 1 спичку, вторую — убрав 4 спички, третью, четвертую и пятую — передвинув соответственно 3, 2 и 2 спички, шестую — не передвинув ни одной спички.
Хитроумные разбиения
Рэнсом — землемер, который специализируется в разбиении участков самой причудливой формы на конгруэнтные части.
Однажды его попросили разделить вот такой участок на 4 одинаковые части. Как это сделать?
Разделить участок можно единственным способом — так, как показано на рисунке.
В следующий раз Рэнсому понадобилось разделить на 4 конгруэнтные части участок, имевший форму равнобочной трапеции. Сделать это было нелегко.
Однако Рэнсом не отступил перед трудностями и сумел найти единственное решение.
Разделить на 4 конгруэнтные части квадратный участок для такого специалиста, как Рэнсом, было сущей забавой, но когда его попросили разделить квадратный участок на 5 конгруэнтных частей, он стал в тупик.
Рэнсом. Как же это сделать? Ведь должно же существовать какое-то решение… Есть идея! Все ясно!
Не могли бы вы сказать, как Рэнсом решил разделить квадратный участок?
Рэнсом. Мой метод до смешного прост и позволяет делить квадрат на любое число конгруэнтных частей.
Задачи на разрезание
Если хотите позабавиться, предложите своим друзьям решить три задачи Рэнсома. В двух первых задачах участки в форме угла и равносторонней трапеции удается разбить на 4 одинаковые части — уменьшенные копии исходного участка. Эти решения косвенно наводят на мысль о том, что и квадрат должен быть разбит на 5 частей довольно причудливой формы, так как его нельзя разделить на 5 квадратов.
Предложенное Рэнсомом простое решение приходит в голову очень немногим. Можно доказать, что квадрат можно разделить на 5 конгруэнтных частей только так, как это сделал Рэнсом, и никак иначе.
Если ваш приятель «попадется» на третьей задаче, вам удастся поймать его вторично, задав ему четвертую задачу, тесно связанную с предыдущей. Прежде всего покажите ему, как поле, изображенное на рис. 11, можно разделить на 4 конгруэнтные части, и спросите, можно ли это поле разделить на 3 конгруэнтные части?
После нескольких попыток ваш друг скорее всего признает себя побежденным и преисполнится уверенности, что ему досталась необычайно трудная задача. Каково же будет его удивление, когда он узнает, что эта задача допускает неожиданно простое решение, аналогичное предложенному Рэнсомом разбиению квадрата на 5 конгруэнтных частей. Это решение приведено на рис. 12. Как и в случае квадрата, метод позволяет производить разбиение поля на любое число конгруэнтных частей.
Задачи, которые приходится решать землемеру Рэнсому и ресторатору Джо, относятся к одному из увлекательнейших разделов занимательной математики, называемому иногда теорией разбиений. Их неожиданные решения могут подсказать, как следует браться за многие практические задачи геометрии на плоскости и в пространстве. Две первые задачи Рэнсома представляют особый интерес, поскольку в каждой из них участок делится на меньшие участки, повторяющие по форме исходный- Фигуры, которые можно без просветов и наложений, как плитками, вымостить уменьшенными их копиями (репликами), принято называть реп-плитками.
На рис. 13 показано еще несколько реп-плиток. Можете ли вы разрезать каждую из них на несколько конгруэнтных частей, повторяющих по форме исходную фигуру? Располагай мы неограниченным запасом реп-плиток любой формы, из них можно было бы построить непериодическое разбиение плоскости. Например, рассмотрим Г-образную фигуру, «реп-плиточность» которой доказал, решив первую задачу, Рэнсом. Сложенные вместе, четыре такие фигуры образуют новую Г-образную фигуру, которая в 4 раза больше исходной. Из четырех новых фигур в свою очередь можно составить еще большую Г-образную фигуру. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго и выложить Г-образными фигурами все возрастающих размеров бесконечную плоскость. Неограниченно долго можно продолжать не только составление все более крупных Г-образных реп-плиток, но и разрезание их на все более мелкие фигуры.
О реп-плитках мы знаем немного. Все известные pen-плитки помимо непериодического разбиения плоскости порождают еще и периодическое разбиение плоскости, то есть позволяют выложить ими всю плоскость так, что, подвергая фундаментальную область узора только параллельным переносам без поворотов и отражений, ею можно покрыть всю плоскость. Существует ли реп-плитка, порождающая только непериодическое разбиение плоскости? Этот трудный вопрос теории разбиений остается пока без ответа.
Еще меньше известно об объемных реп-плитках. К числу их заведомо принадлежит куб, так как из 8 кубов можно составить 1 куб большего размера так же, как из 4 квадратов можно сложить 1 квадрат побольше. Можете ли вы назвать еще какие-нибудь объемные реп-плитки?
Если конгруэнтные части по форме не должны повторять составленную из них фигуру, то возможности для придумывания задач-головоломок расширяются. Например, Т-образная фигура на рис. 14 составлена из 5 квадратов. Ее невозможно разрезать на четыре Т-образные фигуры, но, может быть, вам удастся разбить ее на 4 конгруэнтные фигуры какой-нибудь другой формы?
Разрезание плоскости фигуры даже на две конгруэнтные части может оказаться трудной задачей. На рис. 15 вы видите несколько фигур, на которых можете испытать силу своего геометрического воображения. Решения (способы разрезания) приведены в конце книги.
Еще один интересный класс задач на разрезание образуют задачи на разрезание одного заданного многоугольника на наименьшее число частей любой формы, из которых можно составить другой заданный многоугольник. Например, на сколько частей достаточно разрезать квадрат, чтобы из них можно было составить равносторонний треугольник? (На 4 части.) Наиболее полно теория разбиений и весь круг вопросов, связанных с разрезанием, изложен в книге Гарри Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание»[4].
Мисс Евклид и ее кубики
Мисс Евклид поставила на кафедру большой деревянный куб.
Мисс Евклид. Сегодня я проведу с вами контрольную. Я задам вам всего 3 вопроса об этом кубе.
Мисс Евклид. Этот куб можно распилить на 64 единичных куба. Для этого требуется провести 9 разрезов.
Мисс Евклид. Если бы перед каждым разрезом части куба разрешалось бы перекладывать, то можно было бы ограничиться 6 разрезами. Мой первый вопрос к вам: как доказать, что число разрезов не может быть меньше 6?
Пока класс трудился над ответом на первый вопрос, мисс Евклид провела на двух гранях куба диагонали, проходящие через общую вершину.
Мисс Евклид. Мой следующий вопрос: чему равен угол между этими двумя диагоналями?
Прежде чем задать свой третий вопрос, мисс Евклид положила на верхнюю грань куба линейку.
Мисс Евклид. Как с помощью этой линейки проще всего измерять длину диагонали куба АВ?
На сколько вопросов мисс Евклид вы смогли бы ответить? Я смог ответить на 2 из 3 вопросов.
Каверзные задачи
Решение задачи 1. Докажем, что куб 4×4×4 невозможно разрезать на 64 кубика менее чем 6 плоскими разрезами (при условии, что после каждого разреза части куба разрешается перекладывать). Рассмотрим для этого любой из 8 внутренних кубиков. Ни один из внутренних кубиков не имеет «готовых» граней, которые бы совпадали с гранями большого куба. Следовательно, каждую из 6 граней внутреннего куба необходимо выделить, для чего требуется провести 1 плоский разрез. Поскольку ни одна плоскость не может выделить более одной грани куба, то число разрезов, которые необходимо провести, чтобы высечь все 6 граней куба, должно быть не меньше 6.
Существует ли общий метод, позволяющий распилить любой прямоугольный параллелепипед с целочисленными длинами ребер на единичные кубы при минимальном числе разрезов (части параллелепипеда разрешается переставлять)? Да, такой метод существует и заключается в следующем. Рассмотрим 3 разных куба, длины ребер которых равны длине, ширине и высоте параллелепипеда. Для каждого куба определим минимальное число разрезов, которые необходимо провести, чтобы разделить его на слои единичной толщины. Для этого проведем плоский разрез перпендикулярно ребру куба через целую точку, расположенную как можно ближе к середине ребра (если в длине ребра укладывается четное число единиц, то распил делит ребро пополам; если же в длине ребра укладывается нечетное число единиц, то распил проходит на расстоянии половины единицы длины от середины ребра), переложим полученные части и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока весь куб не распадется на слои единичной толщины. Сумма трех минимумов (по одному для каждого ребра) даст нам ответ задачи.
