Гипотетическое оптимальное распределение относится к процессу постулирования набора доходностей, стандартных отклонений и корреляций для последующего расчета оптимального распределения при этих исходных данных.
Историческое оптимальное распределение, то есть то, что было оптимальным в прошлом, рассчитать можно. Это интересное упражнение, и мы скоро им займемся, но это очень плохой способ определения будущего распределения активов.
Мы уже намекнули на один из методов расчета исторического оптимального распределения. Вспомните «облака точек» для портфелей на рис. 4.9 и 4.10. Портфели с левого верхнего края облака лежат близко к границе эффективности и очень близки к оптимальным. Несложно создать электронные таблицы для исторических доходностей и поупражняться с вашими моделями распределения до тех пор, пока далее будет невозможно улучшать соотношение доходности и риска портфеля. По сути, большинство электронных таблиц содержит инструмент для оптимизации, позволяющий определить портфели, которые дадут вам максимальную (или даже минимальную) доходность при данном уровне стандартного отклонения или минимальное стандартное отклонение при данном уровне доходности. Это своего рода «оптимизатор бедняка». Однако эти методы довольно медленные и громоздкие, поэтому они не подходят человеку, серьезно изучающему теорию портфелей. Прежде всего они предполагают огромный объем работы, связанный с анализом «если» для выяснения того, что происходит при различных комбинациях доходности или стандартного отклонения актива. Изменить же корреляцию этого актива с другими активами почти невозможно.
Существует гораздо более быстрый и простой метод оптимизации портфелей – анализ среднего отклонения, разработанный несколько десятилетий назад Гарри Марковицем (впоследствии за эту работу он получил Нобелевскую премию). Пакет программ для использования этого метода называется оптимизатором среднего отклонения (MVO). MVO быстро рассчитает оптимальные составы портфелей по трем наборам данных.
1. Доходность каждого актива.
2. Стандартное отклонение каждого актива.
3. Корреляции всех активов.
До последнего времени MVO были дорогостоящими, но еще более дорогими были исходные данные. Из-за этого я потратил много усилий, описывая методы работы с электронными таблицами в предыдущем издании этой книги. К счастью, этого больше не требуется. MVO теперь можно получить по цене меньше $100, и получение данных также стало гораздо более простым делом. Информация о продуктах и продавцах приводится в Приложении А.
Одним из недостатков MVO является то, что он не учитывает восстановления баланса, поскольку это так называемый однопериодный метод, а восстановление баланса – многопериодное явление. Однако оптимальные портфели – одни и те же, независимо от того, проведено восстановление баланса или нет. Далее относительно легко произвести настройку с учетом восстановления баланса после расчета границы эффективности.
В качестве примера рассмотрим семь активов за период с 1970 по 1996 г., которые отражены на рис. 4.10, плюс долгосрочные облигации и казначейские векселя. Полные вводные данные для MVO для этого временного периода приведены в табл. 5.1.
Две первые колонки – это годовая доходность и стандартные отклонения. В соседних колонках приведены корреляции между годовой доходностью каждого актива за 27 годовых периодов.
Эти данные вводятся в оптимизатор, в нашем случае MVOPIus, производимый компанией Efficient Solutions. Как и во всех оптимизаторах Марковица, в этой программе используется метод критической линии для создания серии угловых портфелей, которые определяют построение границы эффективности для этого набора исходных данных. Рассмотрим результаты, представленные в табл. 5.2. На рис. 5.1 показаны реальные графические результаты работы MVOPIus.
Угловой портфель 1 – это портфель с минимальным отклонением; его риск минимален. Заметьте, что он состоит на 92,5 % из казначейских векселей и лишь на 7,5 % – из активов, которые мы обычно считаем довольно рискованными. Большинство портфелей в диапазоне риска, который большинство из нас сочло бы обоснованным, находится между угловыми портфелями 7 и 8. Портфели с 1-го по 6-й почти полностью состоят из краткосрочных обязательств, а выше портфеля 8 портфели становятся очень рискованными. Портфель 10 – портфель с максимальной доходностью.
Табл. 5.1. Исходные данные для оптимизатора, 1970–1996 гг.
Примечание: S&P-акции S&P 500; Мелк. – акции мелких компаний США (CRSP дециль 9-10); Европ. – акции европейских компаний (MSCI Europe); Аз. – Тих. – акции компаний Азиатско-Тихоокеанского региона (исключая Японию, MSCI Pacific ex-Japan); Япон. – акции японских компаний (MSCI Japan); Драг. – акции компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов (объективная категория компании Morningstar); 20-лет. – 20-летние казначейские облигации США; 5-лет. – 5-летние казначейские билеты США; 30-дн. – 30-дневные казначейские векселя США.
Табл. 5.2. Угловые портфели, 1970–1996 гг.
Примечание: S&P – акции S&P 500; Мелк. – акции мелких компаний США (CRSP дециль 9-10); Европ. – акции европейских компаний (MSCI Europe); Аз. – Тих. – акции компаний Азиатско-Тихоокеанского региона (исключая Японию, MSCI Pacific ex-Japan); Япон. – акции японских компаний (MSCI Japan); Драг. – акции компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов (объективная категория компании Morningstar); 20-лет. – 20-летние казначейские облигации США; 5-лет. – 5-летние казначейские билеты США; 30-дн. – 30-дневные казначейские векселя США.
Рис. 5.1. Выходные данные оптимизатора MVOPlus
Математические подробности
MVOPlus обладает уникальной способностью определения портфеля с максимальной годовой доходностью (средней геометрической доходностью), в то время как все другие коммерческие оптимизаторы определяют актив с самой высокой средней арифметической доходностью в качестве последнего портфеля, который не является портфелем с максимальной средней геометрической доходностью. Это происходит потому, что разница между средней арифметической и средней геометрической доходностью равна примерно половине отклонения портфеля, или (SD)2 / 2, и называется запаздыванием отклонения (variance drag). По мере движения вправо по графику соотношения доходности и риска запаздывание отклонения возрастает до точки, когда средняя геометрическая доходность начинает падать. Помните, что вы уменьшаете среднюю геометрическую доходность в годовом исчислении, а не среднюю арифметическую доходность.
Конечно, вы не ограничены угловыми портфелями. Если вы решите, что хотите оказаться на середине пути между портфелями 7 и 8, то просто усредняйте составы двух портфелей для каждого актива.
Взгляните на портфель 7. Он примерно на треть состоит из акций и на две трети из 5-летних казначейских билетов. Пока все вроде бы нормально. Но посмотрите на состав акций: почти исключительно акции мелких компаний США, японских компаний и компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов. Это не тот портфель, которым хотел бы владеть любой разумный человек. Неслучайно в него вошли три актива, по которым получена самая высокая доходность за период с 1970 по 1996 г. Мы только что столкнулись с губительным недостатком оптимизации – излишним пристрастием к активам, имеющим в последнее время высокую доходность. По сути, после небольшой практики можно добиться от оптимизатора расчета почти любого желаемого портфеля. Измените данные о доходности по большинству активов на несколько процентов в любом направлении, и этот актив будет либо доминировать в портфеле, либо полностью исчезнет из него. Вы думаете, что можете спрогнозировать доходность по всем основным классам активов в своем портфеле? Если да, то вы и в самом деле очень талантливы. Следовательно, два фундаментальных закона оптимизаторов:
• оптимизатор явно предпочтет активы с высокой исторической или ожидаемой доходностью;
• если вы можете достаточно точно предсказать исходные данные оптимизатора для того, чтобы близко подойти к будущей границе эффективности, то оптимизатор вам не нужен.
Из приведенного примера должны быть видны риски необдуманного ввода в оптимизатор исторической доходности, стандартного отклонения и корреляций. Доходность актива склонна к тенденции иметь обратный смысл за длительные периоды времени: актив с выдающейся доходностью за последние 10 лет, скорее всего, будет иметь доходность ниже среднего в последующие 10 лет. Поэтому некоторые в шутку прозвали оптимизаторы максимизаторами ошибок.
