Чтобы предсказать, как может упасть кость, нужно знать, из чего она сделана. Если плотность ацетатного пластика в одном из углов кубика выше, чем в других, то одна из сторон будет выпадать чаще других. Поэтому, чтобы попытаться применить законы Ньютона к летящей в воздухе кости, нужно знать, как она сделана. Непрерывна ли ее структура, или же, если присмотреться, она собрана из отдельных деталей?
Если я смирюсь с пределами моего зрения в соответствии с цитатой из Шопенгауэра, приведенной в начале этого «рубежа», то я увижу только сплошной красный ацетат, из которого сделана кость. Однако при помощи оптического микроскопа я могу увеличить кость в 1500 раз, до размеров большого здания. Заглянув внутрь такой огромной кости, я по-прежнему мало что узнаю о тайнах ее строения. Все по-прежнему выглядит довольно гладким и непрерывным.
Микроскопы, использующие различные части электромагнитного спектра, появившиеся в XX в., позволили ученым получать изображения с увеличением, в 1000 раз большим. Теперь моя игральная кость простирается от одного конца Лондона до другого. И на этом уровне увеличения она выглядит более зернистой. На смену ощущению непрерывной структуры приходит нечто более дискретное. Современные электронные микроскопы позволяют увеличить изображение еще в 10 раз, и тогда я смогу различать атомы углерода и водорода, которые, как мне известно, составляют часть ингредиентов ацетатного пластика, из которого изготовлена моя кость.
Интересно, что ученые сформулировали атомарное представление о строении материи задолго до того, как у меня появилась возможность увидеть эти атомы под электронным микроскопом в лаборатории, расположенной через дорогу от моей кафедры математики. И именно сочетание математической и теоретической точек зрения с физическим видением мира дает лучшие средства познания того, из чего сделана эта кость.
Однако атомы, в том числе водорода, кислорода и углерода, оказались не столь атомарными[33], как предполагает их название. Я знаю, что за атомной структурой, видимой под электронным микроскопом, существует более глубокая внутренняя структура. Атомы уступают место электронам, протонам и нейтронам. Место протонов и нейтронов, в свою очередь, занимают кварки. В 2013 г. при помощи квантовых микроскопов даже удалось получить изображения электронных орбиталей возле ядра атома водорода. Но существует ли теоретический предел той глубины, которой я могу достигнуть в исследовании внутреннего строения своей кости?
Например, что случится, если я буду все время разрезать и разрезать кость пополам? До чего я могу дойти? С математической точки зрения я не вижу никаких проблем: если у меня есть число, его можно делить на два сколько угодно раз:
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 …
Математика не определяет точки, в которой мне пришлось бы остановиться. Однако если я возьму реальную игральную кость, которая лежит у меня на столе, и разрежу ее пополам, а потом еще раз пополам, как далеко я смогу зайти?
Противоречия между непрерывной и дискретной природой материи, между математическими возможностями и ограничениями, налагаемыми физической реальностью, бушуют уже многие тысячелетия. Под какую музыку танцует Вселенная – под звуки трубы или под глиссандо виолончели?
Музыка сфер
Откуда я знаю про электроны и кварки, которые считаются последним уровнем строения моей игральной кости? Я их никогда не видел. Если спрошу себя, как я, собственно, узнал о них, я отвечу, что столько раз о них слышал и читал, что уже и не помню, как и откуда. И вообще, говорили ли мне когда-нибудь, откуда мы о них знаем? Например, я знаю еще, что самая высокая гора – это Эверест. Я знаю об этом только потому, что достаточно много раз об этом слышал. Так что, прежде чем выяснять, существует ли что-то кроме этого уровня, следовало бы понять, как мы пришли к этим составным элементам.
Читая историю, с удивлением обнаруживаешь: убедительные доказательства того, что такие объекты, как моя кость, не просто имеют непрерывную структуру, а состоят из дискретных элементов, называемых атомами, были получены всего чуть более столетия назад. Но хотя это открытие было сделано сравнительно недавно, интуитивное ощущение такого положения вещей возникло тысячи лет назад. Индусы считали, что материя состоит из основных атомов, соответствующих вкусу, запаху, цвету и осязанию. Они разделяли атомы на бесконечно малые, не занимающие никакого места, и другие, «крупные» и занимающие конечное пространство, – и, как мы увидим дальше, рассматривая современную модель строения вещества, эта теория была чрезвычайно прозорливой.
На Западе атомистическую философию природы первыми предложили древние греки, придерживавшиеся редукционистской точки зрения, согласно которой физическая реальность может быть сведена к фундаментальным блокам, из которых состоит вся материя. Такие атомы невозможно разделить на меньшие составляющие, и их свойства не должны зависеть от какого-либо еще более сложного внутреннего строения. Одним из источников такой веры во Вселенную, составленную из отдельных блоков, было убеждение пифагорейской школы в том, что число является ключом к объяснению тайн Вселенной.
Вера в могущество целых чисел проистекает из довольно замечательного открытия, приписываемого самому Пифагору: оно состояло в том, что число лежит в основе музыкальной гармонии, которую использует как виолончель, так и труба. Говорят, что его прозрение случилось, когда он проходил мимо кузницы и услышал в стуке молота сочетание гармоничных нот (мы не знаем, можно ли верить этой и другим подобным историям о Пифагоре и даже существовал ли вообще такой человек, или же он был выдуман последующими поколениями для пропаганды новых идей).
Как бы то ни было, согласно этой истории, он вернулся к себе домой и стал экспериментировать с нотами, получаемыми на струнном инструменте. Взяв вибрирующую струну виолончели, я могу получить непрерывную последовательность нот, постепенно перемещая палец в сторону подставки. Так я получаю звук, называемый глиссандо (хотя на следующем «рубеже» вопрос о том, образуется ли при этом действительно непрерывная последовательность нот, будет поставлен под сомнение). Если я остановлюсь в том положении, в котором получаются ноты, звучащие в гармонии с вибрирующей открытой струной, окажется, что отношение длин этих струн точно равно целому числу.
Например, прижав пальцем середину вибрирующей струны, я получу ноту, звучащую почти так же, как нота, с которой я начал. Интервал между ними называется октавой, и для человеческого уха эта нота звучит настолько похоже на ноту открытой струны, что в музыкальной нотации мы обозначаем их одним и тем же названием. Если я помещу свой палец в одной трети расстояния от головки грифа, я получу ноту, особенно гармонично звучащую в сочетании с нотой открытой струны. Такой интервал называется чистой квинтой, и наш мозг реагирует на подсознательное узнавание целочисленного отношения длин волн этих двух нот.
Обнаружив, что в основе гармонии лежат целые числа, пифагорейцы начали строить модель Вселенной, в которой такие целые числа были фундаментальными кирпичиками всего, что они видели и слышали вокруг себя. В греческой космологии царила идея небесной математической гармонии. Считалось, что между орбитами планет существуют идеальные математические соотношения, что и породило идею музыки сфер.
Для понимания структуры игральной кости важнее то обстоятельство, что ключом к объяснению состава материи пифагорейцы считали дискретные числа, а не непрерывное глиссандо. Они предложили идею атомов, которые подобно числам можно складывать для образования новой материи. Греческий философ и математик Платон, развивая пифагорейскую философию, представил такие атомы дискретными геометрическими элементами.
Платон полагал, что атомы представляют собой геометрические фигуры, треугольники и квадраты. Из этих элементарных блоков были составлены формы, которые считались основными ингредиентами греческой химии, – элементы, или «стихии» огня, земли, воздуха и воды. Каждая стихия, по мнению Платона, имела собственную трехмерную геометрическую форму.
Огонь имел форму треугольной пирамиды, или тетраэдра, образованного из четырех равносторонних треугольников. Форма земли была кубической, подобно моей игральной кости из Лас-Вегаса. Воздух был образован из формы, называемой октаэдром, которая состоит из восьми равносторонних треугольников. Она выглядит как две пирамиды, склеенные своими квадратными основаниями. Наконец, вода соответствовала икосаэдру, составленному из двадцати равносторонних треугольников. Платон считал, что химия стихий возникает из геометрического взаимодействия таких основных форм.
Атомистическое видение материи не было повсеместно признано в Древнем мире. В конце концов, никаких доказательств существования таких невидимых элементов не было. Их нельзя было увидеть. Аристотель, например, не верил в идею фундаментальных атомов. Он полагал, что стихии по природе своей непрерывны, так что мою игральную кость теоретически можно делить на все меньшие и меньшие части. Он считал огонь, землю, воздух и воду элементарными в том смысле, что их нельзя разделить на «тела иной формы». Сколько бы мы их ни делили, мы всегда получаем воду или воздух. Вода в стакане представляется человеческому глазу непрерывной структурой, которую теоретически можно делить до бесконечности. Кусок резины можно плавно растянуть так, что он будет казаться непрерывным. Так было подготовлено поле битвы между непрерывной и дискретной моделями материи. Между глиссандо и дискретными нотами музыкальной гаммы. Между виолончелью и трубой.
