На самом деле парадокс сформулирован точно так же, как многие детские загадки, когда важные детали замалчиваются. Об их существовании нужно догадаться.
Парадокс был бы, действительно, парадоксом, если бы положение близнецов было симметричным. Но так ли это? Путешественник, прежде чем полететь к звёздам, должен разогнаться до высоких скоростей, потом, где‑то там далеко, развернуться, а вернувшись к Земле, замедлиться, чтобы встретиться со своим братом. Ничего этого не происходит с братом–домоседом. Как минимум, во время трёх периодов своего путешествия космонавт будет испытывать ускорения. Поэтому, строго говоря, на пространственно-временной диаграмме мировая линия брата-путешественника будет кривая:
Качественно проблему можно решить, представив мировую линию путешественника в виде ломаной, состоящей из двух отрезков, как показано на рис. 5.5, ускорения «скрыты» в изломах этой ломаной. Мировая линия брат а–домоседа совпадает с осью времени, Сравним интервал отрезка прямой на оси времени между событиями α (расставания) и w (встречи) с суммой интервалов отрезков ломаной. Прежде всего, отметим, что наклонные отрезки ломаной линии времениподобные, поскольку описывают движение материального тела. Но тогда из наших рассуждений о сравнении интервалов на рис. 5.4 следует, что интервал каждого из наклонных отрезков меньше половины интервала отрезка aw, то есть интервал всей ломаной меньше, чем весь интервал aw. Но интервал отрезка мировой линии наблюдателя равен промежутку его собственного времени, Поэтому брат–путешественник при встрече будет моложе.
Тот же вывод можно сделать по–другому. Нанесём на наклонных мировых значения собственного времени путешественника и соединим их с точно такими же значениями для времени на мировой линии домоседа. Получим два набора параллельных линий, как на рис. 5.5, первый набор синхронизован на момент их разлуки и в будущее, второй набор синхронизован от момента встречи и в прошлое. Эти наборы параллельных линий всегда пространственноподобны, они не имеют никакого отношения ни к световым конусам, ни к реальным наблюдателям. Очевидно, домосед проживёт больше времени, см. рис 5.5. Отрезок на временной оси, не получивший своих точек-двойников на ломаной линии, определяет — насколько домосед будет старше путешественника при встрече.
Ситуация на рис. 5.5 несколько утрирована. Получается, что брат–путешественник стартовал с бесконечным ускорением, затем развернулся с бесконечным ускорением, и т. д. Реальная мировая линия брата–путешественника конечно плавная, соответствующая конечным ускорениям. Однако выводы не изменятся. Мы можем кривую аппроксимировать ломаной, причём с любой точностью. А анализ ломаной мировой линии, имеет она два отрезка, как на рис. 5.5, или любое другое количество отрезков, принципиально не отличается. Другими словами, парадокса не возникает, если не нарушаются правила вычисления интервалов. Тогда результат всегда таков: интервал отрезка αw на рис. 5.5 больше интервала, измеренного вдоль любой другой мировой линии, соединяющей события α и w. Та есть собственное время домоседа всегда больше собственного времени любого путешественника из α в w.
Некоторые особенности ускоренных наблюдателей обсуждаются в Дополнении 6, которое лучше читать после главы 8 (о чёрных дырах).
Пуанкаре и Эйнштейн
В исторической литературе о науке много внимания уделяется взаимоотношениям создателей СТО в начале прошлого века. Иногда оценки разнятся чрезвычайно, К сожалению, часто доходят до крайностей, ничем не обоснованных. Можно было бы об этом просто не писать, но великие создатели великой теории тоже были людьми. Взаимоотношения были частью их жизни и, так или иначе, были связаны и с их творчеством.
Поскольку основными создателями СТО по праву считаются Пуанкаре и Эйнштейн, то на их взаимные отношения и отношение к ним научного сообщества обратим особое внимание. Весьма взвешанная оценка тех событий дана в послесловии (которое называется «Истоки релятивизма») в книге А. А. Тяпкина и А. С. Шабанова «Пуанкаре», вышедшей в 1979 году в серии «Жизнь замечательных людей». Поэтому, в основном, будем следовать изложению этого послесловия, иногда вставляя собственные комментарии. Но прежде, совсем немного об Анри Пуанкаре.
Математические таланты Пуанкаре проявились уже в престижной Политехнической школе. Там он опубликовал свою первую научную работу по дифференциальной геометрии. В 1875 году его приняли в ещё более авторитетное заведение — Горную школу, где в 1879 году он защитил докторскую диссертацию, которая была оценена как «заслуживающая многих хороших диссертаций».
После этого Пуанкаре преподавал в нескольких университетах, иногда одновременно. Опубликовал несколько важных статей, фактически создавая новые разделы математики. Его исследования тесно связаны с небесной механикой и астрономией.
В 1887 году король Швеции Оскар II объявил математический конкурс и предложил участникам на выбор четыре темы. Самой сложной была первая: рассчитать совместное движение тел Солнечной системы. За неё и взялся Пуанкаре. Для решения этой проблемы, как минимум, необходимо было решить задачу совместного движения трёх тел. Пуанкаре показал, что задача трёх тел не имеет аналитического решения, но предложил эффективные методы приближённого решения. Эта работа и последовавшие за ней содержат идеи, ставшие базовыми для «теории хаоса».
Позднее Пуанкаре реализует замысел создания качественной геометрии, или топологии. С начала XX века он много занимается философией математики, ролью интуиции в науке. Однако основной сферой интересов в это время становятся физика.
Рис. 5.6. Анри Пуанкаре
О Пуанкаре как о человеке современники отзывались исключительно хорошо. Он никогда не участвовал в скандалах, всегда был доброжелательным. В научных спорах был твёрд, но вежлив.
Теперь перейдём к событиям великой эпохи.
Начнём с того момента, когда преобразования Лоренца стали известны его современникам, пытающимся распутать клубок противоречий. Пуанкаре одним из первых понял, что необходима инвариантная относительно этих преобразований механика. И он впервые представляет уравнения классической механики в групповых переменных (инвариантной форме). Но в трудах учёных, развивавших это направление, не найдёшь ссылок на новаторскую работу французского математика и механика. Возможно, она была слишком математезирована, возможно, его коллеги в то время «были не в теме» — статья была опубликована в 1901 году. Цитировать стали опубликованные только в 1904 году две статьи немецкого механика Георга Гамеля (1877–1954), в которых он тоже приходит к инвариантной записи уравнений движения.
В специальной теории относительности инвариантный подход получил дальнейшее развитие. И здесь первый шаг был сделан Пуанкаре, чётко сформулировавшим требование инвариантности законов всей физики относительно преобразований Лоренца. Замечательный немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) писал впоследствии: «То,
Рис. 5.7. Альберт Эйнштейн
что современные физики называют теорией относительности, является теорией инвариантов четырёхмерной области пространства-времени… относительно… «лоренцевой группы».
Долгие годы инвариантное представление теории относительности целиком приписывалось Минковскому, развившему его несколько лет спустя. Но надо сказать, что в позднее время, когда требование инвариантности стало в физике нормой теоретического знания, учёные отдают должное Пуанкаре в становлении этого фундаментального подхода. Сейчас релятивистская инвариантность любой физической теории в плоском пространстве–времени формулируется как инвариантность относительно группы Пуанкаре. Введённые им преобразования более общие, чем преобразования Лоренца. К этому позднему признанию научная общественность пришла после длительного замалчивания вклада французского учёного в новую величайшую теорию физики.
Необходимо, конечно, отметить, что кроме отношений учёных между собой было противостояние научных школ, и это сказывалось с самого начала построения СТО. Тенденциозность представителей немецкой физической школы не исчезла после смерти Пуанкаре. В 1913 году в Германии вышел сборник работ классиков релятивизма под редакцией видного физика–теоретика Арнольда Зоммерфельда (1868–1951). В нем были опубликованы статьи Лоренца, Эйнштейна и Минковского. Работы Пуанкаре не были включены ни в это первое, ни в последующие издания сборника. Умалчивая о его достижениях, немецкие физики упорно представляли Эйнштейна единственным создателем теории относительности, Лоренца — его предшественником, а Минковского — последователем.
