Анализ бесконечно малых — один из самых важных инструментов, которыми располагает математика. С его помощью оказалось возможным решить некоторые научные проблемы, существовавшие еще со времен Древней Греции. Среди них исследование скорости изменения некоторых величин, что было актуально, например, для изучения движения тел. Кроме того, этот метод облегчил вычисление касательной к кривой, что имело практическое применение, например в оптике. Также было облегчено решение задач на оптимизацию, то есть нахождение того, в каких условиях можно получить максимальное или минимальное значение чего-либо; сегодня они очень широко используются в экономике. И четвертая огромная проблема, которую устранило создание этого анализа, — вычисление площадей и объемов элементов, не являющихся геометрически правильными. Сегодня их применяют достаточно широко: в проектировании мобильных телефонов или самолетов, в транспорте, метеорологии... Данный метод используется в любых процессах, в которых присутствует постоянное развитие и изменение, таких как использование энергии, изучение распространения эпидемии или распределение населения.
Однако талант Лейбница был настолько обширен, а его научные интересы настолько разнообразны, что мы можем найти следы его деятельности и в иных областях. Он выступал в роли инженера, изобретая механизмы для подъема руды из шахт или для орошения садов, исследовал свойства недавно открытых химических веществ, таких как фосфор, и так далее.
Некоторые историки считают Лейбница последним универсальным гением — благодаря тому, что он работал в огромном количестве научных областей. Французский философ XVIII века Дени Дидро, несмотря на то что его философские взгляды были противоположны взглядам Лейбница, сказал о нем: «Возможно, никогда не существовало человека, который бы читал, учился, размышлял и писал больше Лейбница... То, что он написал о мире, о Боге, о природе и душе, достойно наивысших похвал». И добавил нечто еще более обескураживающее: «Когда сравниваешь свои таланты с талантами Лейбница, существует соблазн выбросить все свои книги и идти тихо умирать в темноту какого-либо забытого уголка».
Лейбниц написал много книг, воспоминаний и писем. Он создал огромное количество трудов: многие из основных работ ученого были опубликованы уже после его смерти, но до сих пор не вышло полного собрания его сочинений.
Некоторое представление о разнообразии интересов Лейбница дает, например, перечень предложений, подготовленных им для аудиенции с императором Священной Римской империи Леопольдом I. Это открытие исторического колледжа, денежная реформа, реорганизация экономики, улучшение торговли и текстильной мануфактуры, создание страхового фонда и налогов на роскошные платья, создание всеобщей библиотеки, а также предложение освещать улицы Вены лампами с рапсовым маслом.
Лейбниц был убежденным оптимистом и считал, что мы живем в лучшем из миров. Ученый никогда не отчаивался из- за того, что некоторые из многочисленных проектов, в которые он погружался, по каким-то причинам не продвигались. Всю свою жизнь он полностью посвятил исследованиям на благо человечеству.
1646 1 июля родился Готфрид Вильгельм Лейбниц в Лейпциге, Германия.
1661 Начал обучение в Лейпцигском университете, где его специальностью была философия. Проведя один семестр в Йенском университете, вернулся в Лейпциг и начал специализироваться на праве.
1666 Опубликовал свою первую философскую работу De arte combinatoria («Об искусстве комбинаторики»), возможно написанную под влиянием Ars magna Раймунда Луллия.
1667 Получил степень доктора права в Альтдорфском университете.
1668 Начал работать на курфюрста Майнца.
1672 Направился в Париж, чтобы представить проект, разработанный вместе с бароном Иоганном Христианом фон Бойнебургом.
1673 Поехал в Лондон, где присутствовал на собрании Королевского общества и представил свой арифмометр.
1676 Назначен советником герцога Брауншвейг-Люнебургского. Эта должность сохранится за ним до самой смерти.
1679 Начал проект эксплуатации шахт в Альт-Гарце, для чего разработал ряд насосов и ветряных мельниц.
1684 В журнале «Акты ученых» появилась статья Лейбница, в которой он изложил новый анализ бесконечно малых.
1685 Получил заказ написать историю Брауншвейг-Люнебурга, чем и занимался до конца жизни, так и не закончив работу.
1692 Ганновер стал курфюршеством, и Лейбниц активно участвовал в этом процессе.
1698 После смерти герцога Эрнста Августа его сын Георг Людвиг занял место курфюрста Ганновера. У Лейбница не сложились с ним отношения.
1700 Создана Прусская академия наук. Лейбниц стал ее первым президентом.
1710 Опубликовал «Опыты теодицеи о благости Божией, свободе человека и начале зла», где собраны многие разговоры ученого с королевой Пруссии Софией Шарлоттой во дворце Литценбурге (позднее переименованном в Шарлоттенбург).
1714 Написал «Монадологию», излагающую его философские взгляды.
1716 Опубликовал свою главную работу о Китае — «Рассуждение о естественной теологии китайцев». После нескольких приступов подагры умер 14 ноября в Ганновере.
ГЛАВА 1
СОЗДАТЕЛЬ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ МАШИНЫ
С давних времен человек пользовался математикой, чтобы считать и вычислять. По мере того как процесс вычисления становился все более сложным, появилась необходимость в том, чтобы упростить его и сделать более эффективным. Так, например, возникли счеты и логарифмические линейки. А в XVII веке появился ряд механических машин, которые улучшали скорость и точность математических операций, — такие как арифмометр Лейбница.
Родители маленьких детей, как правило, склонны «мучить» гостей историями о своих отпрысках, стремясь продемонстрировать их ум, смекалку, воображение и даже гениальность. Со временем такие истории становятся годны только для того, чтобы на любой встрече родственников или друзей заставить покраснеть от стыда бывшего «гениального» ребенка.
Однако, если человек в какой-либо сфере деятельности добился выдающихся результатов, то подобные детские истории становятся частью его общеизвестной биографии: они служат доказательством того, что он был вундеркиндом, и в большинстве случаев так оно и есть. Самым известным примером из мира математики стал немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. В 1787 году, когда ему было только десять лет, он решил сложную задачу, предложенную в классе. Его учитель попросил сложить первые 100 натуральных чисел. Гаусс представил решение на своей доске за несколько секунд.
Его метод был следующим. Гаусс понял, что если написать числа в порядке от 1 до 100, а внизу снова от 100 до 1, то при сложении каждого верхнего и нижнего элемента всегда получается 101:
1 2 3 4 97 98 99 100
100 99 98 97 4 3 2 1
Поскольку есть 100 слагаемых, сумма этих двух рядов чисел равна 10100, а так как у нас два ряда, получается, что сумма первых 100 чисел равна:
(100 • 101)/2 = 5050
Гаусс понял, что первое число (1) и последнее (100) в сумме дают то же значение (101), что и второе и предпоследнее, и можно без проблем продолжить это рассуждение, то есть 1 + + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =...= 50 + 51 = 101. Таким образом, получается 50 пар чисел. Если каждая пара равна 101, то сумма всех пар — 5050.
Как мы увидим в следующей главе, сложение больших рядов чисел очень интересовало математиков XVII века.
Хотя истории о детстве Лейбница нельзя назвать столь впечатляющими, некоторые авторы тоже считают его вундеркиндом. В возрасте двух лет, когда с ним осталась тетя, мальчик забрался на высокий стол и, внезапно потеряв равновесие, упал со значительной высоты. Оказавшись внизу, маленький Лейбниц сидел на полу совершенно невредимый и смеялся над случившимся. Из этого его отец сделал вывод, что ребенок защищен небесами, и немедленно послал гонца в церковь, чтобы выразить благодарность высшим силам.
РОЖДЕНИЕ ГЕНИЯ
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 года в немецком городе Лейпциге, в курфюршестве Саксонии, одном из главных торговых центров Европы начиная с XII века. Этот город был знаменит тем, что в нем находилось большое количество типографий, благодаря чему в XVIII веке он даже мог конкурировать с Франкфуртом в искусстве печатного дела, и, следовательно, достать здесь хорошие книги не представляло особого труда.
Начиная с эпохи Возрождения Лейпциг был важным центром образования и науки, в городе проходила интенсивная культурная жизнь. Местный университет, основанный в 1409 году, считается вторым — после Гейдельбергского — самым древним вузом Германии. В момент рождения Лейбница его отец, Фридрих Лейбниц, был заместителем декана факультета философии и, кроме того, преподавал философию морали (этику) в университете. Также он работал делопроизводителем, адвокатом и нотариусом. Фридрих Лейбниц был родом из Альтенбурга, небольшого населенного пункта примерно в 40 км от Лейпцига. Его мать, Анна Деверлин (бабушка Готфрида), принадлежала к лейпцигской знати.
