Чаще других многогранников на школьных досках рисуют шестигранник, или куб. Как правило, на уроках математики его обычно изображают так, как показано на рис. 1 на следующей странице, то есть в виде двух квадратов, соединенных четырьмя линиями, один из которых смещен относительно другого. Это «порождающее» представление куба. Квадрат «порождается» движением отрезка в направлении, перпендикулярном ему, на расстояние, равное длине отрезка. Аналогично можно получить куб движением квадрата в направлении, перпендикулярном ему, на расстояние, равное длине отрезка, «породившего» квадрат. Отрезок можно считать одномерным квадратом, и тогда он будет «порождаться» движением точки на определенное расстояние. Обобщив это представление, можно вести речь о тессеракте, или четырехмерном гиперкубе, который порождается перемещением куба в измерение, перпендикулярное традиционным трем измерениям, на расстояние, равное длине стороны квадрата. Однако представление куба в перспективе Кавалье (см. рис. 1) является далеко не единственным. На рис. 2 приведено изображение куба в центральной конической перспективе. Именно так мы будем видеть куб, если приблизимся к одной из его граней (которая считается прозрачной) достаточно близко. На рис. 3 изображен куб в изометрической перспективе. Три грани, сходящиеся в одной вершине (рис. 4), на этом изображении куба выглядят как ромбы.
Аналогичным образом можно изобразить тессеракт, или гиперкуб. На рис. 5 представлено трехмерное изображение тессеракта в центральной конической перспективе. На рис. 6 приведено его изображение в изометрической проекции. Все грани гиперкуба имеют форму ромбов. Внешняя часть фигуры состоит всего из 12 граней, так как остальные оказываются спрятанными внутри. Таким образом получается ромбододекаэдр. Подобная фигура изображена на рис. 3, где видны всего три из шести граней куба, а остальные три оказываются по другую сторону листа бумаги, на котором они изображены. В случае куба (рис. 4) в одной вершине сходятся три квадратные грани, а в случае тессеракта в одной вершине сходятся четыре куба (рис. 7). Наконец, на рис. 8 предпринята попытка изобразить два перпендикулярных между собой куба, которые имеют общую грань, аналогично тому, как две смежных грани куба перпендикулярны между собой и имеют общее ребро.
Так как страницы этой книги плоские, то вы можете видеть лишь 20-проекции трехмерных проекций четырехмерного куба. Однако это не проблема: если читатель хочет увидеть эти проекции в 3D, ему всего лишь потребуется запастись терпением, скопировать следующие развертки и склеить их. Так он сможет увидеть проекции тессеракта в 3D, которые можно представить на страницах этой книги только в двух измерениях. Склейка разверток также поможет понять «порождающий» процесс перехода в новое измерение.
Развертка трехмерной центральной конической проекции четырехмерного гиперкуба.
(источник: FMC)
Развертка трехмерной изометрической проекции тессеракта.
(источник: FMC)
Читатель может спросить, что общего у кубов и тессерактов с картиной «Крещение Христа» Эль Греко. Далее мы дадим несколько метафорический, но от этого не менее математический ответ на этот вопрос.
Перефразируя «Рукопись, найденную в кармане» Хулио Кортасара (ее название, в свою очередь, является перефразированным названием «Рукописи, найденной в Сарагосе» Яна Потоцкого), ответ мы спрятали в заглавии предыдущего раздела — «Эль Греко и четвертое измерение».
Если мы рассмотрим его картину с точки зрения математики, то увидим, что сцены, изображенные в ее нижней и верхней части, не соответствуют какой-то одной точке зрения — ни в живописи, ни в иконописи, ни в богословии. Небо и земля, изображенные на картине, в некотором роде подобны двум кубам, имеющим общую грань, но перпендикулярным между собой. Эль Греко изображает их в виде отдельных трехмерных реальностей, которые тем не менее соприкасаются между собой. И на этой общей грани, которой соприкасаются воображаемые кубы, находится Святой Дух.
Вселенная в представлении Эль Греко как минимум четырехмерна, и наша трехмерная Вселенная лишь одна из ее граней. Небеса — другая трехмерная реальность, еще одна грань гиперкуба, перпендикулярная нашей трехмерной Вселенной. А небо и земля — смежные гиперграни одного тессеракта, имеющие общую плоскость, на которой обитает третья ипостась Бога — Святой Дух.
«Крещение Христа» Эль Греко. Схема двух перспективных проекций.
Разумеется, непросто поверить, что Доменикос Теотокопулос при работе над картиной мыслил в четырех измерениях. По меньшей мере, бессознательно, возможно, на основе мистических произведений Алонсо де Ороско это виртуальное изображение, которое мы называем четырехмерным, витало в его голове.
Поскольку математики при формировании абстракций как раз переходят от реальности к представляющей ее метафоре, мы можем трактовать эту картину и с мистическо-религиозной, и с геометрико-пластической точки зрения. Так, вытянутые фигуры, характерные для работ Эль Греко, получены в результате проекции подобно тому, как квадратные грани куба в изометрической проекции принимают форму ромбов. Если Эль Греко смог прочувствовать это силой своего воображения, нет никаких сомнений, что в своем воображении он представлял картину словно в ином измерении.
Анаморфоз на картине
СурбаранаПроанализируем картину Франсиско де Сурбарана «Оборона Кадиса против англичан». Это произведение предназначалось для украшения Зала королей дворца Буэн-Ретиро в Мадриде. В этом зале находилось 12 картин, изображавших битвы времен правления Филиппа IV, выполненные выдающимися художниками того времени, среди которых «Сдача Бреды», или «Копья», Веласкеса. Коллекцию дополняли картины его же авторства с изображением десяти подвигов Геркулеса; конные портреты Филиппа III и его жены; портреты Филиппа IV и его жены, а также портрет принца Бальтазара Карлоса.
Короли Испании жили в резиденции Реаль Алькасар в Мадриде, который должен был стать новой столицей, придя на смену Толедо. На месте этой резиденции, уничтоженной пожаром в ночь под рождество 1734 года, сейчас находится королевский дворец. Будучи изначально построен как крепость эмира Кордовы Мухаммада I в IX веке, Реаль Алькасар был перестроен и расширен при Энрике II, а затем при Карле V и Филиппе II, особенно после 1561 года, когда последний решил перенести свою резиденцию в Мадрид. Филипп III продолжил работы по перестройке дворца, однако его преемник Филипп IV хотел иметь в своем распоряжении вторую, более удобную резиденцию, для досуга и развлечений. Так было принято решение возвести новый дворец в восточных окрестностях Мадрида, в местности под названием Прадо, близ садов, расположенных на пологом склоне, который вел от реки Мансанарес в центр города.
Заказчиком выступал Гаспар де Гусман-и-Пиментель, граф Оливарес и герцог Санлукар-ла-Майор, известный как граф-герцог де Оливарес, который выбрал место для строительства рядом с королевскими покоями, которые Филипп II повелел пристроить к монастырю Святого Иеронима. Строительство дворца должно было завершиться в кратчайшие сроки, и граф-герцог взял на себя обязательство закончить проект в 1634 году. Граф Оливарес, фаворит короля, назначил руководителем работ Алонсо Карбонеля.
Здание было составлено из различных архитектурных элементов и представляло собой настоящий дворец. Было запланировано построить два огромных внутренних двора для приемов, размеры одного из которых при строительстве были уменьшены. Из-за спешки и нехватки средств в казне пришлось использовать не самые благородные материалы. Этот недостаток было решено компенсировать пышным убранством залов, дорогой мебелью, прекраснейшими гобеленами и картинами самых знаменитых художников той эпохи.
Граф-герцог завершил работы в заданный срок, однако для украшения дворца ему пришлось закупать картины в спешке. Он заказал все картины испанским художникам, а мебель и другие декоративные элементы заимствовал из дворцов знатных вельмож, которые отнеслись к этому сравнительно благосклонно.
Самым пышным залом дворца Буэн-Ретиро был Зал королей, получивший это название потому, что на его стенах были изображены гербы 24 королевств, которыми правил Филипп IV. Зал королей был тронным залом, в нем король принимал послов и знатных сановников. Его было решено украсить картинами, где изображались победы, одержанные королевскими войсками в знаменитых сражениях в самых далеких странах мира. Зал королей располагался в одном из крыльев дворца, имел прямоугольную форму размером 10х30 м. Лучшим художникам того времени — Веласкесу, Майно, Сурбарану, Хусепе Леонардо, Эухенио Кахесу и другим — было заказано 12 батальных картин, а также несколько работ, которые должны были дополнить убранство зала. Большинство этих картин в настоящее время хранится в музее Прадо.
