§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
Теперь выпишем законы преобразования, выражающие j и А в движущейся системе через j и А в неподвижной, хотя неявно мы уже говорили о них. Поскольку Аm = (j, А) является четырехвектором, это уравнение должно выглядеть подобно (25.1), за исключением того, что t нужно заменить на j, а x — на А. Таким образом,
(25.24)
При этом предполагается, что штрихованная система координат движется по отношению к нештрихованной со скоростью v в направлении оси х.
Рассмотрим один пример плодотворности идеи 4-потенциала. Чему равны векторный и скалярный потенциалы заряда q, движущегося со скоростью v в направлении оси х! Задача очень упрощается в системе координат, движущейся вместе с зарядом, ибо в этой системе заряд покоится. Пусть заряд находится в начале координат системы S', как это показано на фиг. 25.2.
Фиг. 23.2. Система отсчета S' движется со скоростью v (в направлении оси х) по отношению к системе S.
Заряд, покоящийся в начале системы координат S', находится в системе S в точке x=vt. Потенциалы в точке Р могут быть найдены для любой системы отсчета.
Скалярный потенциал в движущейся системе задается выражением
(25.25)
причем r' — расстояние от заряда q до точки в движущейся системе, где производится измерение поля. Векторный же потенциал А', разумеется, равен нулю.
Теперь без особых хитростей можно найти потенциалы j и А в неподвижной системе координат. Соотношениями, обратными к уравнениям (25.24), будут
(25.26)
Используя далее выражение для j'[см. (25.25)] и равенство А'=0, получаем
Эта формула дает нам скалярный потенциал j, который мы увидели бы в системе S, но он, к сожалению, записан через координаты штрихованной системы. Впрочем, это дело легко поправимо; с помощью (25.1) можно выразить t', х', у', z' через t, x, у, z и получить
(25.27)
Повторяя ту же процедуру для вектора А, вы можете показать,
что
А = vj. (25.28)
Это те же самые формулы, которые мы вывели в гл. 21, но там они были получены другим методом.
§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики
Итак, потенциалы j.и А, оказывается, образуют в совокупности четырехвектор, который мы обозначили через Аm, а волновое уравнение (полное уравнение, выражающее Аmчерез jm) можно записать в виде (25.22). Это уравнение вместе с сохранением заряда (25.19) составляют фундаментальный закон электромагнитного поля:
(25.29)
И вот, пожалуйста, все уравнения Максвелла просто и красиво записываются всего в одной строке. Достигли ли мы чего-нибудь, записав их в таком виде, кроме, разумеется, красоты и простоты? Прежде всего, есть ли здесь какое-нибудь отличие от того, что было раньше, когда мы выписывали их во всем разнообразии компонент? Можно ли из этих уравнений получить нечто, чего нельзя получить из волновых уравнений для потенциалов, содержащих заряды и токи? Ответ вполне определенный — конечно, нельзя. Единственное, что мы сделали — это изменили названия, т. е. использовали новые обозначения. Мы нарисовали квадратик для обозначения производных, но это по-прежнему не более и не менее как вторая производная по t минус вторая производная по х, минус вторая производная по у, минус вторая производная по z. А значок m, говорит, что у нас есть четыре уравнения, по одному для каждого из значений m=t, х, у или z. Какой же тогда смысл того, что уравнения можно записать в столь простой форме? С точки зрения получения чего-то нового — никакого. Хотя, возможно, простота уравнений и выражает определенную простоту природы. Сейчас я покажу вам нечто интересное, чему мы понемногу научились. Можно сказать, что все законы физики описываются
одним уравнением:
U=0. (25.30)
Не правда ли, удивительно простое уравнение! Конечно, нужно еще знать, что обозначает символ U. Это физическая величина, которую мы будем называть «несообразностью» ситуации. У нас даже есть для нее формула. Вот как вычисляется эта несообразность: вы берете все физические законы и записываете их в особой форме. Например, вы взяли закон механики F=ma и записали его в виде F-ma=0.
Теперь вы можете величину (F-mа), которая, разумеется, в нашем мире должна быть нулем, назвать «несообразностью» механики. Затем вы берете квадрат этой несообразности, обозначаете его через U1 и называете ее «механической несообразностью». Другими словами, вы берете
(25.31)
который можно назвать «гауссовой электрической несообразностью». Продолжая этот процесс, вы можете ввести U3, U4 и т. д. для каждого из физических законов.
Наконец, полной несообразностью мира U вы называете сумму Ui,- для каждого из различных явлений, т. е. U=2Ui .
И тогда «великий закон природы» гласит:
(25.32)
Этот «закон», разумеется, утверждает лишь, что сумма квадратов всех отдельных отклонений равна нулю, однако единственный способ сделать сумму квадратов множества членов равной нулю — это приравнять нулю каждое из ее слагаемых.
Таким образом, «удивительно простой закон» (25.32) эквивалентен целому ряду уравнений, которые вы писали первоначально. Поэтому совершенно очевидно, что простые обозначения, скрывающие сложности за определением символов,— это еще не истинная простота. Это только трюк. Так и в выражении (25.32) за кажущейся простотой скрывается несколько уравнений; это снова не более чем трюк. Развернув их, вы снова получите то, что было раньше.
Однако закон электродинамики, написанный в форме уравнения (25.29), содержит нечто большее, чем простую запись; в векторном анализе, кроме простоты записи, также есть нечто большее. Тот факт, что уравнения электромагнетизма можно записать в особых обозначениях, которые специально приспособлены для четырехмерной геометрии преобразований Лоренца, иначе говоря, как векторные уравнения в четырехмерном мире, означает, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Именно потому, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований, их можно записать в столь красивом виде.
В том, что законы электродинамики можно записать в форме элегантного уравнения (25.29), нет ничего случайного. Теория относительности была развита именно потому, что экспериментально подтвердилась неизменность предсказанных уравнением Максвелла явлений в любой инерциальной системе. Именно при изучении трансформационных свойств уравнений Максвелла Лоренц открыл свои преобразования как преобразования, оставляющие инвариантными эти уравнения.
Однако есть и другая причина записывать уравнения в таком виде. Было обнаружено, что все законы физики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (первый об этом догадался Эйнштейн). Таково содержание принципа относительности. Поэтому если вы изобрели обозначения, которые сразу же показывают, инвариантен ли выписанный нами закон, то можно гарантировать, что при попытке создать новую теорию вы будете писать только уравнения, согласующиеся с принципом относительности.
В простоте уравнений Максвелла в этих частных обозначениях никакого чуда нет. Обозначения специально были придуманы именно для них. Самая интересная с физической точки зрения вещь состоит в том, что любой физический закон (будь то распространение мезонных волн, или поведение нейтрино в b-распаде, или что-то другое) должен иметь ту же самую инвариантность относительно тех же преобразований. Так что если ваш звездолет движется с постоянной скоростью, то все законы природы вместе преобразуются так, что никаких новых явлений не возникает. Именно благодаря тому, что принцип относительности является законом природы, уравнения нашего мира в четырехмерных обозначениях должны выглядеть гораздо проще.
*Вас может удивить, почему же мы не пользуемся реакцией
Или даже
для которой, несомненно, требуется меньшая энергия? Все дело в принципе, называемом сохранением барионного заряда, согласно которому величина, равная числу протонов минус число антипротонов, не может измениться. В левой стороне нашей реакции эта величина равна 2. Следовательно, если мы хотим справа иметь антипротон, то ему должны сопутствовать еще три протона (или других бариона).
