(31.5)
Эту формулу можно переписать еще и по-другому:
(31.6)
откуда заключаем, что поле за пластинкой получается умножением поля, которое было бы при отсутствии пластинки (т. е. Es), на ехр[-iw(n-1)Dz/c]. Как мы знаем, умножение осциллирующей функции типа eiwt на еiq означает изменение фазы колебаний на угол q, возникающее из-за задержки при прохождении пластинки. Фаза запаздывает на величину w(n-1)Dz/c (именно запаздывает, поскольку в экспоненте стоит знак минус).
Мы говорили раньше, что пластинка добавляет поле Еа к первоначальному полю ES=E0ехр[iw(t-z/c)], а вместо этого нашли, что действие пластинки сводится к умножению поля на фактор, сдвигающий фазу колебаний. Однако здесь нет противоречия, поскольку тот же результат можно получить, прибавив подходящее комплексное число. Это число особенно просто найти для малых Dz, так как ех при малых x с большой точностью равно (1+x).
Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.
Тогда можно записать
(31.7)
Подставляя это равенство в (31 6), получаем
(31.8)
Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Еа — полю, создаваемому осциллирующими зарядами пластинки справа от нее. Поле Еа выражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.
· · ·
Смысл сделанных преобразований легче всего понять с помощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3). Отложим сперва Es (z и t выбраны на рисунке такими, что Es лежит на действительной оси, но это не обязательно). Задержка при прохождении пластинки приводит к запаздыванию фазы Es, т. е. поворачивает Es на отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Еа, направленный почти под прямым углом к Es. Именно такой смысл имеет множитель (-i) во втором члене (31.8). Он означает, что при действительном Es величина Еа отрицательная и мнимая, а в общем случае Es и Ёа образуют прямой угол.
§ 2. Поле, излучаемое средой
Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Еа во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель преломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Еа , создаваемого зарядами пластинки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)
Таблица 31.1 ● обозначения которыми мы пользуемся
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ _______
Es поле, создаваемое источником
Еа поле, создаваемое зарядами пластинки
Dz толщина пластинки
z расстояние по нормали к пластинке
n показатель преломления
w частота (угловая) излучения
N число зарядов в единице объема пластинки
h число зарядов на единицу площади пластинки
qе заряд электрона
m масса электрона
w0 резонансная частота электрона, связанного в атоме
Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле Es имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде
(31.9)
На самой пластинке в точке z=0 мы имеем
(31.10)
Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут колебаться вверх и вниз (если e0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормального положения под действием силы пропорционально величине силы.
Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, «что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой w0. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они подчиняются:
(31.11)
(здесь F — внешняя сила).
В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать
(31.12)
где qe — заряд электрона, а в качестве ES мы взяли значение ЕS = Е0еiwt из уравнения (31.10). Уравнение движения электрона приобретает вид
(31.13)
Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:
(31.15)
откуда
(31.16)
Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.
Теперь мы в состоянии определить поле Еа , создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Еа в точке Р есть скорость заряда, запаздывающая по времени на величину z/c, умноженная на отрицательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х0 из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле
(31.17)
Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр[iw(t-z/c)]); амплитуда волны пропорциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель h), а также амплитуде поля источника (Е0). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств атомов (qe , m , w0).
Самый важный момент, однако, заключается в том, что формула (31.17) для Еa очень похожа на выражение Еа в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить
(31.18)
Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны Dz, поскольку h — число атомов на единицу площади — равно NDz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Подставляя NDz вместо h и сокращая на Dz, получаем наш основной результат — формулу для показателя преломления, выраженную через константы, зависящие от свойств атомов, и частоту света:
(31.19)
Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились.
§ 3. Дисперсия
Полученный нами результат очень интересен. Он дает не только показатель преломления, выраженный через атомные постоянные, но указывает, как меняется показатель преломления с частотой света w. С помощью простого утверждения «свет движется с меньшей скоростью в прозрачной среде» мы никогда бы не смогли прийти к этому важному свойству. Нужно, конечно, еще знать число атомов в единице объема и собственную частоту атомов w0. Мы еще не умеем определять эти величины, поскольку они разные для разных материалов, а общую теорию по данному вопросу мы сейчас изложить не можем. Общая теория свойств различных веществ — их собственных частот и
т. п.— формулируется на основе квантовой механики. Кроме того, свойства различных материалов и величина показателя преломления сильно меняются от материала к материалу, и поэтому вряд ли можно надеяться, что вообще удастся получить общую формулу, пригодную для всех веществ.
Тем не менее попробуем применить нашу формулу к разным средам. Прежде всего, для большинства газов (например, для воздуха, большей части бесцветных газов, водорода, гелия и т. д.) собственные частоты колебаний электронов соответствуют ультрафиолетовому свету. Эти частоты много больше частот видимого света, т. е. w0 много больше w, и в первом приближении можно пренебречь w2 по сравнению с w02. Тогда показатель преломления получается почти постоянным. Итак, для газов показатель преломления можно считать константой. Этот вывод справедлив также и для большинства других прозрачных сред, например для стекла. Взглянув более внимательно на наше выражение, можно заметить, что при увеличении со знаменатель уменьшается, а, следовательно, показатель преломления растет. Таким образом, n медленно увеличивается с ростом частоты. Для синего света показатель преломления больше, чем для красного. Именно поэтому синие лучи сильнее отклоняются призмой, чем красные.
