В этой истории наглядно показано, что в бесконечности часть может быть равна целому. Действительно, запишем бесконечное число четных номеров в виде бесконечного ряда, а под этим рядом напишем номера гостей 1,2,3...
2, 4, 6, 8, ...
1, 2, 3, 4, ...
Каждому четному числу соответствует один номер гостя и наоборот. Значит, число четных чисел равно числу всех чисел натурального ряда. На первый взгляд это противоречит нашей интуиции. Ведь четные числа составляют лишь половину всех чисел. Это действительно так для любой конечной совокупности чисел. Но когда мы переходим к бесконечности, все меняется и часть может равняться целому, в чем мы наглядно убедились, сравнивая написанные выше два ряда.
О подобных же свойствах говорят и другие примеры, приведенные в шутливой истории Д. Гильберта.
Из приведенных выше примеров может показаться, что все бесконечности, так сказать, одинаковы, то есть что любое бесконечное множество элементов можно пересчитать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, как мы это сделали с четными числами.
Но это не так!
Знаменитый математик Г. Кантор в прошлом веке доказал, что число точек на отрезке прямой сосчитать никаким способом нельзя. Их нельзя перенумеровать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, приписывая каждой точке свой номер, в каком бы порядке мы ни выбирали эти точки. Всегда останется хотя бы одна точка, на которую не хватит номера!
Понять это не так уж сложно. В самом деле, представим себе, что мы взяли отрезок единичной длины и положение каждой точки характеризуем расстоянием ее от левого конца, принятого за ноль. Эти расстояния будем записывать в виде десятичной дроби. Точнее, положение каждой точки записывается, вообще говоря, в виде бесконечной десятичной дроби, у которой после запятой имеется бесконечный ряд десятичных знаков. Конечно, в исключительных случаях все знаки начиная с некоторого могут оказаться нулями.
Представим далее, что вопреки нашему утверждению кому-то удалось перенумеровать точки этого отрезка. Тогда мы выпишем десятичные дроби, характеризующие положения этих точек на отрезке, в порядке их номеров в виде таблицы. В первой строчке запишем бесконечную дробь для положения точки, получившей первый номер, во второй строчке бесконечную дробь для точки, получившей второй номер и т. д. Наша таблица может выглядеть, например, так
0,32869700833....
0,91967138452....
0,00063700114....
Покажем, что обязательно есть точка отрезка, не вошедшая в этот список, и, следовательно, список неполон. Для того чтобы записать десятичную дробь, характеризующую положение этой точки на отрезке, поступим следующим образом. Запишем первым знаком после запятой в десятичной дроби любую цифру, отличающуюся от первой цифры после запятой в первой строчке нашей таблицы (то есть в нашем примере не 3, а, скажем, 5). Вторую цифру в нашей дроби запишем любую, но отличающуюся от второй цифры во второй строчке таблицы (в нашем примере не 1); и так далее будем поступать до бесконечности. Ясно, что мы получим дробь, которой нет в нашем списке. Действительно, она не совпадает с первой строчкой, так как заведомо отличается первая цифра после запятой, не совпадает со второй строчкой, так как заведомо отличается вторая цифра после запятой и т. д.
Точка, расстояние которой записано этой дробью, пропущена в нашем бесконечном списке и, значит, не имеет номера.
Казалось бы, можно начать нумеровать с этой точки, а уж потом давать номера всем остальным. Как шутливо замечает голландский математик Г. Фрейденталь, именно так поступил человек, побившийся об заклад съесть 20 картофелин. Съев 19 из них и чувствуя себя не в силах проглотить последнюю картофелину, этот человек со вздохом заметил: «С нее-то мне и следовало бы начать».
Разумеется, если начать нумеровать с только что указанной точки, оставшейся без номера, то тем же способом можно найти другую точку, оставшуюся без номера при новом способе нумерации.
Наверное, читатель несколько устал от необходимости следить за необычным построением, но уж очень оно важно, и хотелось его привести для того, чтобы дать хоть немного почувствовать, насколько необычные свойства мы встречаем в царстве бесконечности.
Итак, точек на единичном отрезке прямой заведомо больше, чем бесконечных чисел натурального ряда. Математики говорят, что бесконечность точек на отрезке прямой более мощная, чем бесконечность чисел натурального ряда.
Значит, бесконечности не все одинаковые. Среди них есть более мощные, то есть более богатые элементами, и менее мощные.
Казалось бы, количество точек на всей прямой заведомо больше, чем количество точек на единичном отрезке. Ведь отрезок — часть прямой. Но мы уже осторожны и помним, что в царстве бесконечности тезис «часть меньше целого» не работает. И действительно, мощности бесконечного числа точек прямой и отрезка одинаковы. Это одинаковые бесконечности!
Более того, бесконечность числа точек на всей плоскости и даже во всем трехмерном пространстве той же мощности, что и на отрезке прямой. Все это одинаковые бесконечности. Может возникнуть подозрение, что раз множество точек всего бесконечного пространства не больше множества точек отрезка, то вообще не существует бесконечного множества еще более мощного. И эта бесконечность наибольшая.
Но это не так. Математики умеют строить множества все более и более мощные, то есть строить все большие и большие бесконечности. Нет наибольшей бесконечности, этот ряд тоже бесконечен.
Остановимся, пожалуй, в самом начале нашего пути в мир бесконечностей. Путешествие в нем, возможно, и не менее увлекательно, чем путешествие в мире черных дыр или в далях Вселенной, но это все же дорога в другом направлении человеческих знаний,
Вернемся к расширению Вселенной. После всего сказанного нас уже не удивляет, что бесконечная Вселенная может бесконечно расширяться и для этого не требуется чего-то вне Вселенной, чего-то «потустороннего».
Подобно тому как в истории Гильберта бесконечное число постояльцев можно было всех переселить только в четные номера, увеличив тем самым вдвое расстояние между ними, так и во Вселенной можно увеличить, скажем, вдвое расстояние между галактиками, оставаясь все в той же бесконечной Вселенной.
Но возникает еще один важнейший вопрос: почему Вселенная именно расширяется? Что придало галактикам скорость? Еще раз напомним, что теория тяготения не отвечает на этот вопрос. Галактики сейчас движутся по инерции, и их скорость тормозится тяготением.
К этому вопросу, о причинах, приведших к расширению Вселенной, мы вернемся в последней главе.
Наконец, еще одно замечание. Иногда приходится слышать утверждение, что вследствие расширения Вселенной расширяется все на свете: не только галактики разбегаются, но и сами галактики расширяются, расширяются отдельные звезды, наша Земля — вообще все тела. Это, конечно, неверно. Разбегание галактик вообще никак не влияет на отдельные тела. Как в разлетающемся облаке газа отдельные молекулы не расширяются, точно так же и в расширяющейся Вселенной гравитационно связанные тела — галактики, звезды, Земля — не подвержены космологическому расширению. Разумеется, они могут и расширяться и сжиматься, но это вызывается внутренними причинами — процессами, которые происходят внутри этих тел.
Расширяется ли вселенная?
Вывод о расширении Вселенной далеко не сразу получил всеобщее признание. Уж очень грандиозна сама идея эволюции всего окружающего мира. И эта идея ведет ко многим удивительным и далеко идущим следствиям, например, что в далеком прошлом, когда началось расширение, Вселенная была не похожа на сегодняшнюю. Как отмечено в начале главы, такая идея вызывала много возражений, отчасти в силу инертности человеческого мышления, отчасти в силу предвзятых псевдофилософских соображений. Казалось, гораздо привычнее и спокойнее представление о неэволюционирующей, стационарной Вселенной. Все это породило многочисленные попытки дать какое-то иное объяснение наблюдаемому «красному смещению» в спектрах далеких галактик, отличное от объяснений его эффектом Доплера. Тогда можно было бы считать галактики не удаляющимися друг от друга, а Вселенную не расширяющейся.
Очень хорошо это умонастроение отражено в памфлете «Здравый смысл и Вселенная» канадского писателя-юмориста и ученого-экономиста С. Ликока.
«В течение последних лет, точнее со дня обнародования этой ужасной гипотезы (о расширении Вселенной. — И. Н.) мы, кто как мог, пытались жить в этой расширяющейся Вселенной, каждая часть которой с кошмарной скоростью улетает от всех остальных частей! Это напоминает нам того отчаявшегося влюбленного, который вскочил на коня и поскакал, как безумный, в разных направлениях. Идея была величественная, но создавала какое-то ощущение неудобства».
