форы. Ахиллес преодолевает эти десять метров – черепаха преодолевает один метр; Ахиллес преодолевает этот метр – черепаха преодолевает один дециметр; Ахиллес преодолевает этот дециметр, черепаха – один сантиметр; Ахиллес преодолевает этот сантиметр, черепаха – один миллиметр; Ахиллес Быстроногий преодолевает этот миллиметр, черепаха – одну десятую миллиметра, и дальше, до бесконечности, так и не догоняя черепаху… Так выглядит привычная версия. Вильгельм Капелле («Die Vorsokratiken»[104], 1935, с. 178) переводит с аристотелевского оригинала: «Второе [доказательство] – так называемый „Ахиллес“: оно состоит в том, что самое медленное существо никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то расстояние опережать преследующего»[105]. Задача, как мы видим, не меняется, но мне хотелось бы знать имя поэта, обогатившего ее героем и черепахой. Своей распространенностью это доказательство обязано двум волшебным соперникам и числовому ряду:
Почти никто не вспомнит предыдущее доказательство Зенона, с путем, хотя построены они одинаково. Движение невозможно (утверждает Зенон), так как перемещающееся тело, чтобы достичь цели, должно преодолеть половину пути, а прежде этого – половину половины, а прежде этого – половину половины половины, а прежде этого…[106]
Аристотелю мы обязаны и пересказом, и первым опровержением этих доказательств. Он опровергает их с поспешностью, напоминающей презрение, однако воспоминание о них вдохновляет Аристотеля на знаменитый «аргумент третьего человека» против платоновского учения. Платон стремится доказать, что если у двух индивидуумов есть общие атрибуты (например, оба они люди), то они суть временные отображения одного и того же архетипа. Аристотель задается вопросом, имеют ли многочисленные люди и Человек (временные индивидуумы и архетип) общие атрибуты. Очевидно, что да: у них есть атрибуты самой человечности. В таком случае, заключает Аристотель, следует заявить о другом архетипе, который заключал бы в себе все эти сущности, а затем о четвертом… Патрисио де Аскарате в примечании к своему переводу «Метафизики» приписывает ученику Аристотеля следующую формулировку: «Если то, что утверждается о многих вещах сразу, есть отдельная сущность, отличная от вещей, о которых она утверждается (а именно на этом настаивают платоники), необходимо наличие третьего человека. Это обозначение, которое применяется и к индивидуумам, и к идее. Таким образом, существует третий человек, отличный и от отдельных людей, и от идеи. В то же время существует и четвертый, находящийся в том же отношении с третьим и с идеей отдельных людей; следовательно, существует и пятый, и так до бесконечности». Мы определили двух индивидуумов, a и b, составляющих род c. Итак, у нас есть
a + b = c
Но, согласно Аристотелю, у нас еще есть
a + b + c = d
a + b + c + d = e
a + b + c + d + e = f…
Строго говоря, два индивидуума здесь и не нужны: достаточно индивидуума и рода, и тогда уже потребуется третий человек, о котором пишет Аристотель. Зенон Элейский прибегает к бесконечной регрессии, выступая против движения и множества; его ниспровергатель – выступая против универсальных понятий[107].
Следующая аватара Зенона, отмеченная в моих беспорядочных записях, – это скептик Агриппа. Агриппа отрицает саму возможность доказательства, ведь всякое доказательство требует предшествующего доказательства («Hypotyposes»[108], I, 166). В том же ключе Секст Эмпирик объявляет, что определения бессмысленны, поскольку сначала пришлось бы определить каждое из понятий, которые используются в определении, а затем определить эти определения («Hypotyposes», II, 207). Тысяча шестьсот лет спустя Байрон, упоминая в Посвящении своего «Дон Жуана» Кольриджа, написал: «I wish he would explain His Explanation»[109].
В приведенных примерах regressus in infinitum [110]служила только для отрицания; святой Фома Аквинский прибегает к ней («Сумма теологии», 1, 2, 3) для утверждения бытия Божия. Он замечает, что во вселенной нет ничего, что имело бы достаточную для себя причину, что любая причина, определенно, есть следствие другой, предыдущей причины. Мир – это бесконечное сцепление причин, где каждая причина – это следствие. Всякое состояние происходит из предыдущего и обусловливает последующее, но всего этого ряда могло и не быть, поскольку составляющие его элементы условны, иными словами – зависят от случая. И все-таки мир существует; из этих причин мы можем вывести одну неслучайную первопричину, каковая и есть Божество. Вот он, космологический аргумент; его предвосхитили Аристотель и Платон, Лейбниц открывает его заново[111].
Герман Лотце прибегает к regressus, отказываясь понимать, как это изменение объекта A может вызвать изменения в объекте B. Лотце рассуждает так: если A и B друг от друга не зависят, то постулировать влияние A на B – значит постулировать третий элемент, С – элемент, которому для воздействия на B необходим четвертый элемент, D, который не сможет действовать в отсутствие Е, который не сможет действовать в отсутствие F… Чтобы избежать этого умножения химер, Лотце решает, что в мире существует один-единственный объект: бесконечная и абсолютная субстанция, сопоставимая с Богом Спинозы. Транзитивные причины сводятся к причинам имманентным, события – к проявлениям или формам одной космической субстанции[112].
Аналогичный, но еще более тревожный случай – это идея Ф. Х. Брэдли. Этот мыслитель («Appearance and Reality»[113], 1897, с. 19–34) не ограничивается ниспровержением причинных отношений – он отрицает какие бы то ни было отношения. Брэдли задается вопросом, связано ли отношение со своими терминами. Ему отвечают, что да, и тогда он делает вывод, что это равносильно признанию еще двух отношений, а затем и еще двух. В аксиоме «часть меньше целого» Брэдли видит не два термина и отношение «меньше» – он видит три термина («часть», «меньше» и «целое»), а связь их подразумевает наличие еще двух отношений, и так до бесконечности. В суждении «Хуан смертен» он видит три несочетаемых понятия (третье понятие – это нулевая связка), сочетать которые придется до бесконечности. Таким образом, все понятия превращаются в твердые несообщающиеся объекты. Отрицать это – значит приближаться к небытию.
Лотце встраивает периодичные бездны Зенона между причинами и следствиями; Брэдли – между субъектом и предикатом; Льюис Кэрролл («Feeding the Mind»[114], т. 4, с. 278) – между второй посылкой силлогизма и заключением. Он приводит бесконечный диалог, состоявшийся между Ахиллесом и черепахой. Уже завершив свою незавершимую гонку, два атлета мирно беседуют о геометрии. Они изучают такое прозрачное умозаключение:
a) Вещи, которые равны одному и тому же, равны между собой;
b) Две стороны этого треугольника равны
