Повторим сказанное выше: любое истинное арифметическое высказывание может быть доказано на основе аксиом Пеано, если мы допустим семантические методы. Но мы никогда не сможем быть абсолютно уверены в том, что эти семантические методы верны. Мы можем иметь точные и достоверные методы рассуждения, как хотел Гильберт, но в этом случае не сможем доказать все истины. Мы можем узнать потенциально все арифметические истины, но без уверенности в том, что наши методы корректны. Надежность и достоверность либо возможность узнать все истины — одно или другое, но не оба варианта одновременно.
ЛЮДИ И КОМПЬЮТЕРЫ
Выше ли человеческий разум компьютера? Верно ли, что мы "думаем", в то время как компьютер просто "считает"? Или нет принципиальной разницы, и однажды технологический прогресс позволит нам создать искусственный интеллект, с которым мы встречаемся в научной фантастике?
Полемика на эту тему началась в середине XX века — с развитием первых электронных компьютеров. С тех пор были написаны десятки и даже сотни книг и статей с аргументами, опровержениями, дебатами и гипотезами на эту тему, но до сегодняшнего дня ответа так и нет.
Очевидно, что на нескольких страницах невозможно сделать обзор всех аргументов за или против. Упомянем лишь: теоремы Гёделя о неполноте несколько раз использовались в таких дискуссиях как аргумент в пользу того, что человеческий разум выше компьютера.
Прежде мы привели доказательство непротиворечивости аксиом Пеано, и наша человеческая способность воспринимать семантическое понятие "истины" убеждает нас в том, что оно верно. Однако во второй теореме Гёделя доказывается, что правильность этого доказательства не может быть проверена компьютером. Так мы нашли задачу (проверка правильности доказательства того, что аксиомы Пеано непротиворечивы), которую человеческий разум может осуществить, а компьютер нет (и эта невозможность принципиальна). Следовательно, человеческий разум выше компьютера.
В случае если математические предложения имеют отношение к действительности, они неточны, и наоборот, если они точные, они не имеют отношения к действительности.
Альберт Эйнштейн на лекции, прочитанной 27 января 1921 года
Аргумент кажется убедительным, но он не окончательный. Доказательство непротиворечивости аксиом Пеано основывается на нашей интуиции о том, что эти аксиомы являются истинными высказываниями. Но не ошибается ли наша интуиция? Она ведь подвела, например, Фреге, который в течение нескольких лет был убежден в непротиворечивости своих аксиом, пока Бертран Рассел не открыл, что одна из них противоречит самой себе. Возможно, когда-то в будущем новый Рассел покажет нам парадокс, следующий из аксиом Пеано, и скажет, что они все-таки противоречивы.
Следовательно, мы не можем хвастаться своим превосходством над компьютерами, поскольку никогда не будем уверенными в том, что наши семантические рассуждения верны. Нам нужно свыкнуться с возможностью того, что в будущем все (или почти все) наши рассуждения окажутся неверными.
Дискуссия, начатая с открытия парадокса Рассела, так и не закончилась. Три предположения, которые были сделаны в начале XX века, — интуиционизм, логицизм и формализм (или программа Гильберта) — провалились по разным причинам и не были заменены другой программой аналогичного уровня. Какова природа математических объектов? Существует ли промежуточный уровень между чисто синтаксическими и семантическими рассуждениями, который позволил бы превзойти неполноту теорем Гёделя, в то же время обеспечив непротиворечивость? Действительно ли существует категорическая разница между синтаксическим и семантическим? Или понятия, которые мы называем семантическими, являются всего лишь более сложными синтаксическими понятиями (в которых работают с группами символов вместо индивидуальных символов)? Существует еще много подобных вопросов, ответы на которые не найдены... к счастью.
Список рекомендуемой литературы
Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.
Godel, K., Sobrepropositions formalmente indetidibles de los Principia Mathematica у sistemas afines, Oviedo, KRK Ediciones, 2006.
Hofstadter, D., Godel, Eschery Bach (Un etemo у grdcil bucle), Barcelona, Tusquets, 1992.
Kline, M., Matemdticas, la perdida de la incertidumbre, Mexico D.F., Siglo Veintiuno Editores, 1998.
Martinez, G., Pineiro, G., Godel V (para todos), Barcelona, Destino, 2010.
Martinon, A. (compilador), Las matemdticas del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.
Nagel, E., Newman, J., El teorema de Godel, Madrid, Tecnos, 1994.
Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx: de los conjuntos a la complejidad, Buenos Aires, Katz Editores, 2006.
Smullyan, R,,Juegos por siempre misteriosos, Barcelona, Gedisa, 1988.
Stewart, I., Historia de las matemdticas, Madrid, Critica, 2008.
Указатель
Аристотель 18-21, 37, 65
арифметика 22, 33, 35, 44-48, 51, 54, 58, 60, 62, 63, 64, 69, 73, 76-78, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 112, 115-117, 155-157, 160
Архимед 24
бесконечность
актуальная 19-24, 28, 29, 31, 35, 37, 43, 44
потенциальная 19, 20, 22, 25, 28
Борель, Эмиль 10, 11
Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 37, 38, 40, 47, 48, 56
Вена 13, 17, 18, 41, 53-57, 67, 90, 92-94, 96, 121, 126, 148
Венский кружок 13, 56-57, 67, 93, 121
Вселенная 21, 101, 124, 126, 127, 156, 157, 158
вращающаяся 123-128
Гёделя 124
Галилей, Галилео 21-23, 29, 37
Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 23
Гейне, Эдуард 25, 28
Гейтинг, Аренд 48, 96
Герон Александрийский 45
Гёте, Иоганн Вольфганг фон 54
теория цвета 53, 54
Гиббсовская лекция 13, 149-155
Гильберт, Давид проблемы 7, 8, 42, 45, 46, 56, 65, 128, 137
программа 43-49, 51, 56-58, 61, 64, 65, 68, 74, 84, 87, 96-99, 106-108, 115, 150, 155, 156, 159, 161, 162
гипотеза континуум 43, 128, 136-138, 141, 151, 152
Римана 8
Гольдбах, Кристиан 108
Гольдбаха гипотеза 8, 9, 10, 108
Гудстейна теорема 80, 81
Джинс, Джеймс Хопвуд 126, 127, 140
диагональная функция 78, 79, 110
доказательство семантическое 157, 159, 160
синтаксическое 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109-111, 113, 115, 139
единственность 26, 28, 137
разложения на простые числа 28
интуиционизм 36-43, 47, 48, 150, 161
Кантор, Георг 23-25, 28-32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 128, 130-132, 136, 137, 141, 151, 152
Кантора диагональный метод 132-136
код 70-74, 76-82, 109, 110, 111, 113, 114, 116, 117
концептография 32
Коэн, Пол Джозеф 43, 137, 138, 141.152
Кронекер, Леопольд 25, 30, 31, 38
логицизм 36-43, 48, 161
множество 29, 30, 33, 34, 36, 46, 51, 58, 60, 65, 66, 73, 84, 85, 89-91, 99, 101, 103-106, 108, 109, 112, 113, 115-118, 128, 130-132, 134, 136-138, 141, 154-156, 159
бесконечное 28, 29, 128, 130— 32, 154
кардинальное число 128-134, 136, 138, 141
конечное 128, 130
теория 29, 30, 31, 33, 40, 41, 43, 44, 81, 127, 138, 141, 151, 152, 154
множество аксиом 46, 58,60,65, 66,73,89,90,101,103-106, 108,109,112,113,115-118, 155,156,159
неполное 106,109
непротиворечивое 101,103, 106,108,109,112-118,124, 151, 156, 159, 161
омега-непротиворечивое 112
полное 106, 108, 115
противоречивое 103-106, 116, 156, 161
модель 139-141, 153, 154, 157
Моргенштерн, Оскар 91, 122, 147, 148
"Начала" (Евклид) 22, 158
Нейман, Джон фон 48, 49, 91, 94, 146, 148
относительности теория 12, 55, 119, 123, 124, 126, 127, 140
парадокс лжеца 36, 83, 100
Пеано, Джузеппе 46
аксиомы 46, 60, 84, 155-157, 159-161
Планк, Макс 57
Планка принцип 31
платонизм 149-151
понятия семантические 96-100, 104, 156, 157, 159-162
синтаксические 96-99, 101, 103, 104, 106, 109, 115, 151-153, 162
Поркерт, Адель 13, 93-95
правила логики 60, 63, 66, 104, 111, 150, 157
синтаксические 104
Принстон, Институт перспективных исследований 13, 55, 90- 92, 96, 119, 121-123, 125-127, 145-148
Рассел, Бертран 11, 19, 31-37, 56, 70, 100, 104, 105, 124, 161
Рассела парадокс 34, 36, 43, 60, 100, 105, 154, 161
самореференция 36
метод 78-84, 110
семантическая 100
синтаксическая 100
теорема о неполноте (вторая теорема) 49, 65, 90, 106, 117, 143, 149, 152, 156, 160, 162
о неполноте (первая теорема) 7, 13, 41, 48, 51, 57, 64-68, 70, 82, 84, 87, 89, 90, 96, 97-99, 101, 109, 115, 117, 138, 143, 149, 152, 153, 160, 162
о полноте 57, 58-65, 85
Уайлс, Эндрю 59, 75, 85
Ферма теорема 59, 75, 84
формализм 48, 150, 151, 161
Фреге, Готлоб 19, 31-33, 35, 36, 44, 104, 105, 161
Фуртвенглер, Филипп 13, 54, 55, 67
Фурье ряды 25-26, 137
Чёрч, Алонзо 91, 92
число Гёделя 70-74, 76-79, 109, 116, 117
действительное 132, 134, 136
иррациональное 39, 40, 44
квадратное 22, 23, 29, 130
нормальное 10, 11
простое 8, 9, 22, 26-29, 38, 39, 58, 74, 76-78, 83, 99, 100, 102, 103, 107, 108, 116, 117
целое 26, 131, 132, 134, 139, 140
Шлик, Мориц 13, 56, 57, 93
Эйделотт, Франклин Риджвей 145, 146
Эйнштейн, Альберт 13, 18, 55, 90, 91, 94, 119, 122-126, 141, 146, 147, 161
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.
