Согласно (11.10), меньшие k отвечают более низким энергетическим состояниям Е»Е0-2А. Когда k по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при k=±p//b достигает максимума, как показано на фиг. 11.3. Для k, больших, чем p//b, энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим состояние наинизшей энергии, для которого k=0. Тогда при всех хnкоэффициент а (хn) будет один и тот же [см. (11.10)1. Та же самая энергия получилась бы и при k= 2p//b. Тогда из
(11.10) следовало бы
Но, считая, что начало координат приходится на х0, можно положить хn= nb, и тогда а (хn) превратится в
т. е. состояние, описываемое этими а (хn), физически ничем не будет отличаться от состояний при k=0. Оно не представляет особого решения.
В качестве другого примера возьмем k=p/4b. Вещественная часть а (хn) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.
Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=p/4b, кривая 2 —для k=7p/4b.
Если бы k было в семь раз больше (k=7p//4b), то вещественная часть а (хn) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках хn.
Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех хnдают одинаковые амплитуды.
Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные решения нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -p/b до +p/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационарных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.
Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только перепрыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме ап=eikx, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом k имеют энергию E0-2Acos kb-2Bcos2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции k не универсальна, а зависит от тех частных допущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относительно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (-p/b, p/b) повторяется, так что заботиться о других значениях k не нужно.
Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним хnи соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е0=2А; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать
и энергия (11.13) превратится в
Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации
амплитуд Сn.
§ 3. Состояния, зависящие от времени
В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в хn, равна Сn, то вероятность найти его там будет |Сn|2. Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех хnодна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, которое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями k и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при t=0, амплитуда Сnвследствие интерференции различных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн разной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число k0, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к k0.
В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными k будут представлять состояния со слегка различными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного Сnпоэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы видели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где |С(xn)|2наибольшие] с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта групповая скорость связана с зависимостью k от частоты формулой
все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для которого Сnменяется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного «кристалла» с быстротой v, рапной dw/dk, где w=E/h.
Фиг. 11.5. Вещественная часть С(хn) как функция х для суперпозиции нескольких состояний с близкими энергиями.
Подставляя (11.16) вместо Е, получаем
Иными словами, электроны движутся по кристаллу с быстротой, пропорциональной самому характерному k. Тогда, согласно (11.16), энергия такого электрона пропорциональна квадрату его скорости, он ведет себя подобно классической частице. Пока мы рассматриваем все в столь крупном масштабе, что никаких тонкостей строения разглядеть не можем, наша квантовомеханическая картина приводит к тем же результатам, что и классическая физика.
В самом деле, если из (11.18) найти k и подставить его в (11.16), то получится
где mэфф — постоянная. Избыточная «энергия движения» электрона в пакете зависит от скорости в точности так же, как и у классической частицы. Постоянная mэфф, именуемая «эффективной массой», дается выражением
Заметьте еще, что можно написать
Если мы решим назвать mэффv «импульсом», то этот импульс будет связан с волновым числом k так же, как и у свободной частицы.
Не забывайте, что mэффничего общего не имеет с реальной массой электрона. Она может быть совсем другой, хотя следует сказать, что в реальных кристаллах часто случается, что ее порядок величины оказывается примерно таким же (в 2 или, скажем, в 20 раз больше, чем масса электрона в пустом пространстве).
Мы только что с вами раскрыли поразительную тайну — как это электрон в кристалле (например, пущенный в германий добавочный электрон) может пронестись через весь кристалл, может лететь по нему совершенно свободно, даже если ему приходится сталкиваться со всеми атомами. Это получается оттого, что его амплитуды, перетекая с одного атома на другой, прокладывают ему путь через кристалл. Вот отчего твердое тело может проводить электричество.
§ 4. Электрон в трехмерной решетке
