Находя динамическую связь между изменениями линейных скоростей вращения вихрей и силами P, Q, R, с которыми они действуют на слой промежуточных частиц, Максвелл устанавливает соотношение, которое в терминах электромагнитных величин имеет вид уравнения (В). После этого формулы (2) и (3) выводятся просто как удобный способ записи решения уравнения (В). Как мы помним, в первой работе последовательность была обратной. В результате фарадеевское понятие «электротонического состояния» становится ненужным. Теперь Максвелл упоминает о нем скорее по инерции.
Уравнение (С), которое раньше тоже выводилось из (2), теперь следует из интерпретации Н как линейной скорости вихря.
Далее Максвелл производит сложное вычисление изменения компонент скоростей промежуточных частиц за счет изменения формы и ориентации вихря. (Изменения формы приводят к градиентам давлений, что и вызывает изменения скоростей. Справедливо и обратное — если скорости изменяются, то возникают соответствующие напряжения в окружающей среде, которые отождествляются с э. д. с.) Гидродинамический анализ ситуации приводит Максвелла к уравнению
которое позволяет найти э. д. с. в проводнике с током, двигающемся через силовые линии магнитного поля со скоростью v. Это соотношение — первый шаг к электродинамике движущихся тел. Из этой темы через сорок с лишним лет вырастет теория относительности.
А теперь самое интересное — вывод уравнения (D’). Ответ известен заранее, поэтому Максвелл подбирает параметры своей среды так, чтобы он получался из простых кинематических соотношений (фактически речь идет только о выборе подходящих единиц измерения для плотности промежуточных частиц). Результат следует как решение задачи: «Определить общее количество промежуточных частиц (p), проходящих через единицу площади в направлении x в единицу времени». Максвелл получает:
что совпадает с x-компонентой уравнения (D’). Другие компоненты выводятся аналогично.
Итак, снова закон Ампера для замкнутых токов? Это так, если j = (p, q, r) — действительно ток проводимости. И здесь механическая модель позволяет Максвеллу привести аргументы, позволяющие рассматривать случаи незамкнутых токов!
Рассмотрим диэлектрик. По предположению, ему соответствует среда, где промежуточные частицы не могут свободно перемещаться от одной ячейки к другой из-за какого-то внешнего, большого сопротивления. Предположим (вместе с Максвеллом), что внутри одной ячейки (Максвелл иногда употребляет термин «молекула» для обозначения части пространства, которая пересекается одной вихревой трубкой) под влиянием индукции возможно небольшое смещение электричества «... так, что одна сторона молекулы становится наэлектризованной положительно, а другая отрицательно, но электричество остается связанным с молекулой и не переходит от одной молекулы к другой... Это смещение не представляет собой настоящего тока, потому что, достигнув определенной величины, оно остается постоянным. Но это начало тока и изменение смещения образует ток в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того увеличивается смещение или уменьшается».
Итак, по Максвеллу, изменение скорости вихря локально связано с током (согласно уравнению (D’), но глобально в диэлектрике это не истинный ток, а ток смещения p = ∂h/∂t, где h — смещение промежуточных частиц. Величину такого смещения можно вычислить независимо, так как она определяется упругой постоянной среды и значением тангенциальной силы, действующей из-за разности скоростей вращения вихрей на среду промежуточных частиц. Вспоминая наш словарик терминов, запишем:
h = Dx, D = (Dx,Dy,Dz) = εE.
В том случае, если среда не идеальный диэлектрик, то помимо токов смещения существуют и обычные токи проводимости (с этого момента j всегда обозначает именно ток проводимости). Поэтому в левой части уравнения (D’) должен стоять полный ток j + ∂D/∂t, и Максвелл выписывает уравнение в окончательной форме:
Отсюда, уже в две строчки, после чисто математических преобразований, Максвелл выводит уравнение:
где ρ — по определению та самая величина, которая входит в правую часть уравнения (А). Смысл этого уравнения одинаков и в гидродинамике, и в электродинамике: изменение числа частиц в единичном объеме определяется током, проходящим через поверхность, ограничивающую объем.
В работе имеется сложное построение, позволяющее вычислить деформацию тела вихревых трубок и соответствующее смещение промежуточных частиц, находящихся с ними в контакте, вызванное внешней, заданной тангенциальной силой. Построение следует рассматривать как иллюстрацию того, что в рамках механической модели при определенных предположениях (которые, как отмечалось выше, не вполне совпадают с использованными в других частях работы) член ∂D/∂t в уравнении (D) действительно можно вывести.
В 1861 году никаких экспериментальных оснований для введения тока смещения не было. Почему же Максвелл говорит о больших трудностях, с которыми он столкнулся при попытке обобщения закона Ампера на случай незамкнутых токов? Очевидно, речь идет о математических трудностях, и одна из них видна сразу — невозможность согласовать уравнение непрерывности в форме (Е) с другими уравнениями теории. То, что Максвелл вывел уравнение (E), исходя из уравнения (D), не должно вводить в заблуждение. Нет сомнений, что формулу уравнения непрерывности Максвелл знал заранее.
Мы уже сталкивались с тем, что последовательность утверждений в статьях Максвелла (как, впрочем, у любого физика-теоретика) может не повторять последовательность, в которой они были найдены. Построение непротиворечивых уравнений — сложный процесс проб и ошибок. На каждом промежуточном этапе результат проверяется со всех сторон, рассматриваются всевозможные следствия и т. п. Бывает и так, что с течением времени сам автор может терять представление о том, какие утверждения были первичными в логической цепи.
Учтя эти замечания, мы найдем еще один аргумент в пользу уравнения (D). Из него (в сочетании с другими уравнениями, которые раньше уже были известны Максвеллу) вытекает замечательное следствие. Рассмотрим для простоты среду без зарядов и токов (j = ρ = 0). Пусть также μ = ε = 1, что отвечает разреженному воздуху или пустоте. (Подчеркнем, что в представлениях Максвелла пустота — это эфир, поэтому все оснащение механической модели — вихри, холостые колесики и пр. — существует и в пустоте). Тогда окажется, что уравнения для E и H имеют решения, отвечающие волновому процессу, который распространяется в пространстве со скоростью c. Откуда взялся этот новый размерный параметр?
Как видно из уравнения (В), поля E и Н имеют разную размерность: размерность E = (см/с) x размерность Н. Можно было бы с самого начала привести E и Н к одной размерности, но тогда параметр скорости с будет явно фигурировать в законе Фарадея (B). Все это было хорошо известно и до Максвелла. Более того, в 1857 году величина c была экспериментально установлена Вебером и Кольраушем при измерении отношения электростатических и электромагнитных единиц измерения силы тока. Они нашли с = 3,1074∙1010 см/с, но не отнеслись достаточно серьезно к тому, что это значение оказалось очень близким к известной в то время из опыта Физо скорости света 3,1486∙1010 см/с. (Сейчас мы знаем более точно: с = 2,9979∙1010 см/с.)
Отметим еще одно совпадение — в 1857 году Кирхгоф обнаружил, что скорость распространения электрического тока по проводу тоже близка к c. Совершенно очевидно, что к концу 50-х годов здесь, как в известной детской игре, становится «горячо».
Так вот, из уравнений Максвелла очень просто следует, что в пустом пространстве волны распространяются со скоростью с, при этом вектора E и Н колеблются, оставаясь перпендикулярными друг другу и направлению распространения волны. Таким образом, скорость, поперечный характер колебаний, степени свободы, соответствующие поляризации — все как у света! Отсюда следует естественный вывод: такие колебания и есть свет. Максвелл формулирует аккуратнее и осторожнее: «... мы едва ли можем отказаться от вывода, что свет состоит из поперечных колебаний той же самой среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений». Он специально подчеркивает эту фразу, как главный результат работы.
Здесь следующий удивительный момент. Невозможно сомневаться, что Максвелл знал формально-математический вывод волнового уравнения для E и Н. (Это было простым упражнением для студента даже в то время.) В более сложной постановке задачи Максвелл приводит этот вывод, но только через три года — в третьей статье. С другой стороны, без него, используя только механическую аналогию, нельзя доказать, что скорость распространения электромагнитных колебаний в точности равна с. (Можно лишь сделать утверждение о порядке величины.) Но тем не менее, такого вывода волнового уравнения нет в обсуждаемой статье, нет даже упоминания о нем! Приводится только решение механической задачи, которая формулируется так: «Найти скорость распространения поперечных колебаний через упругую среду, из которой состоят ячейки (вихри) в предположении, что ее упругость целиком обусловлена силами, действующими между парами материальных точек». В такой постановке окончательный результат целиком зависит от детальных предположений о свойствах среды. Как мы говорили, они специально подбираются, чтобы иметь желаемый ответ.
