Нахождение того, какие именно перестановки являются симметриями данного уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть что-то, в чем можно быть уверенным вообще без всяких вычислений: набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней.
Почему? Предположим, например, что и P, и R сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Если взять некоторое соотношение и применить R, то получится верное соотношение. Если далее применить P, то снова получится верное соотношение. Но применение R, а затем P — это то же самое, что применение PR. Следовательно, PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым свойством.
Этот простой факт лежит в основе всего сделанного Галуа. Он говорит нам, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа — его группа симметрии; сейчас она называется группой Галуа в честь своего изобретателя. Причем группа Галуа любого уравнения всегда является подгруппой в группе всех перестановок его корней.
Из этого ключевого усмотрения вырастает естественная стратегия атаки. Узнаем, какие подгруппы возникают в каких обстоятельствах. В частности, если уравнение можно решить в радикалах, то группа Галуа этого уравнения должна отражать этот факт в своей внутренней структуре. Далее, задавшись любым уравнением, находим его группу Галуа и проверяем, действительно ли она обладает требуемой структурой. Таким образом мы получаем ответ на вопрос о разрешимости в радикалах.
А далее Галуа переформулировал всю задачу с совершенно иной точки зрения. Вместо построения башни с лестницами он вырастил некое дерево.
Не то чтобы он сам называл свой метод «деревом» — так же как не упоминал Абель о «башне» Кардано, однако идею Галуа можно, тем не менее, изобразить как процесс, который снова и снова ответвляется от центрального ствола. Ствол — это группа Галуа данного уравнения. Ветви, веточки и листья — различные подгруппы.
Подгруппы возникают естественным образом, как только мы задумаемся о том, как изменяются симметрии уравнений, когда мы начинаем брать радикалы. Как изменяется группа? Галуа показал, что если извлекается корень p-й степени, то группа симметрии должна разбиться на p различных блоков одинакового размера. (Здесь, как заметил Абель, всегда можно предполагать, что число p простое.) Так, например, некая группа из 15 перестановок может разбиться на 5 групп из 3 элементов каждая или на три группы из 5 каждая. Существенно важно, что блоки должны удовлетворять некоторым очень строгим условиям; в частности, один из них должен сам по себе образовывать подгруппу некоторого специального вида, известного под именем «нормальной подгруппы индекса p». Можно представлять себе, что ствол дерева разбился на p меньших веток, одна из которых соответствует нормальной подгруппе.
Нормальные подгруппы в группе всех шести перестановок на трех символах таковы: вся группа [I, U, V, P, Q, R], подгруппа [I, U, V] (таблицы умножения которых мы только что видели) и подгруппа из одной-единственной перестановки, т.е. [I]. Три другие подгруппы, содержащие каждая по две перестановки, не являются нормальными.
Пусть, например, мы желаем решить общее уравнение пятой степени. Имеется пять корней, так что наши перестановки будут перестановками на пяти символах. Таких перестановок ровно 120. Коэффициенты уравнения, будучи полностью симметричными, обладают группой, состоящей из всех 120 перестановок. Эту группу мы будем представлять себе как ствол дерева. Каждый отдельный корень обладает группой, которая содержит лишь одну перестановку — тривиальную. Так что у дерева 120 листьев. Наша цель состоит в том, чтобы соединить ствол с листьями, добавляя ветви и веточки, структура которых отражала бы свойства симметрии различных величин, возникающих, если начать возиться с формулой для корней, которые, по нашему предположению, выражаются в радикалах.
Пусть для удобства рассуждений первый шаг в формуле состоит в извлечении корня пятой степени. Тогда группа из 120 перестановок должна разбиться на 5 кусков, в каждом из которых содержится по 24 перестановки. Так что у дерева вырастут пять ветвей. Технически это ветвление должно соответствовать нормальной подгруппе индекса 5.
Однако Галуа смог доказать — просто изучая перестановки, — что такой нормальной подгруппы не существует.
Ладно, может быть, следует начать, скажем, с корня седьмой степени. Тогда 120 перестановок должны разбиться на семь блоков одного и того же размера — что невозможно, поскольку 120 не делится на 7. Значит, корня седьмой степени нет. На самом деле нет никаких корней простой степени, за исключением 2, 3 и 5, потому что именно таковы простые делители числа 120. А мы как раз исключили 5.
Что же тогда, начнем с кубического корня? К сожалению, не получится: группа из 120 перестановок не имеет нормальной подгруппы индекса 3.
Все, что осталось, — квадратный корень. Имеется ли в группе из 120 перестановок нормальная подгруппа индекса 2? Имеется, причем ровно одна. Она содержит 60 перестановок и называется знакопеременной группой. Так что, используя теорию групп Галуа, мы установили, что любая формула для решения общего уравнения пятой степени должна начинаться с квадратного корня, что приводит к знакопеременной группе. При первом ветвлении ствола появляются всего две ветви.
Но всего имеется 120 листьев, так что дерево должно и дальше как-то ветвиться. Как оно это делает? Простые делители числа 60 — это те же 2, 3 и 5. Так что каждая новая ветвь должна делиться на две, три или пять веточек. Другими словами, нам надо добавить или еще один квадратный корень, или кубический корень, или корень пятой степени. Более того, это можно сделать, если, и только если, знакопеременная группа содержит нормальную подгруппу индекса 2, 3 или 5.
Но содержит ли она такую нормальную подгруппу? Вопрос этот — целиком вопрос о перестановках на пяти символах. Исследуя такие перестановки, Галуа смог доказать, что в знакопеременной группе вообще нет нормальных подгрупп (за исключением всей группы и тривиальной подгруппы [I]). Это «простая» группа, одна из тех основных компонент, из которых можно построить все группы.
Не нашлось достаточного количества нормальных подгрупп, чтобы соединить ствол со всеми листьями при помощи ветвлений на простое число веток на каждом шаге. Так что процесс решения уравнения пятой степени в радикалах натыкается на внезапную остановку после того первого шага, заключающегося в добавлении квадратного корня. Идти больше некуда. Нет дерева, по которому можно было бы добраться от ствола до листьев, а потому нет формулы для корней в терминах радикалов.
Доказательство Галуа неразрешимости уравнения пятой степени.
Та же идея работает для уравнений степени 6, 7, 8, 9 — любой степени, старшей 5. Теперь неизбежно возникает вопрос, а почему же уравнения второй, третьей и четвертой степени, тем не менее, разрешимы? Чем выделены степени 2, 3 и 4? В действительности теория групп точно говорит нам, как решить уравнения второй, третьей и четвертой степени. Я оставлю в стороне технические подробности, а вместо этого просто покажу как выглядят деревья. Они в точности соответствуют классическим формулам.
Использование групп для решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней.
Теперь мы начинаем видеть красоту идеи Галуа. Из нее следует не только доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах, но и объяснение, почему общие уравнения второй, третьей и четвертой степени все же имеют решения в радикалах; более того, примерно видно то, и как эти решения устроены. Если поработать еще немного, можно извлечь и точный вид этих решений. Наконец, подход Галуа позволяет отличить те уравнения пятой степени, которые нельзя решить, от тех, которые можно, и говорит нам, как решить эти последние.
Группа Галуа всякого уравнения сообщает нам все, что мы можем пожелать узнать о его решениях. Так почему же Пуассон, Коши, Лакруа и все остальные специалисты не запрыгали от радости, увидев, что же сделал Галуа?
Группа Галуа хранит ужасную тайну.
Тайна эта такого рода. Самый простой способ получить группу какого-либо уравнения состоит в использовании свойств его корней. Но, разумеется, все дело как раз в том, что мы, как правило, не знаем, каковы эти корни. Не будем забывать, что цель состоит в решении уравнения, то есть в нахождении его корней.
