Предел
Преде'л, одно из основных понятий математики. П. — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.
Предел последовательности. Пусть задана последовательность действительных чисел xn , n = 1, 2,... Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа e > 0 существует такой номер ne , что для всех номеров n ³ ne выполняется неравенство |xn — a | < e. В этом случае пишется
(lim — первые буквы латинского слова limes), или
xn ® a при n ® ¥.
Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1, 2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., например последовательность 1, —1, 1,..., (—1) n+1 ,... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.
Для П. последовательностей имеют место формулы
(c - постоянная)
Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного xn /yn надо ещё дополнительно потребовать, чтобы . Если xn £ yn и последовательности xn и yn , n = 1, 2,... сходятся, то
т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из xn < yn не вытекает , например, 1/n > 0, n = 1, 2,... однако ). Если и xn £ zn £ yn , то последовательность zn , n = 1, 2,..., сходится к тому же П.:
Последовательность an , n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой ). Так, например, последовательность 1 /2 , 2 /3 , 3 /4 ,..., n /(n + 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 — n /(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.
Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через an приближённое значение его корня (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то an £ an+1 £ , n = 1, 2, …, поэтому последовательность an , сходится, причём из неравенства 0 £ - an £ 10-n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.
Для того чтобы сходилась произвольная последовательность xn , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер N e , что для всех номеров m ³ Ne и n ³ Ne выполняется неравенство |xn — xm | < e.
Если последовательность xn , n = 1, 2,..., такова, что для числа e > 0 существует такой номер ne , что для всех номеров n ³ ne выполняется неравенство |xn | > e, то последовательность xn , называется бесконечно большой и пишется
Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер ne , что xn > e (соответственно xn < -e) для всех n ³ ne , то пишется (соответственно )
Эти П. называются бесконечными. Например, . В случае же последовательности n2 , n = 1, 2, …,, можно написать не только но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Например, последовательности xn = n и yn = — n бесконечно большие, а последовательность xn + yn ,, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.
Частичные пределы. Верхний и нижний пределы . П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности xn , n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается (соответственно ). Например,
Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.
Предел функции . Пусть функция f , принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, само'й точки x0 . Функция f имеет П. в точке x0 , если для любой последовательности точек xn , n = 1, 2,..., xn ¹ x0 , стремящейся к точке x0 , последовательность значений функции f (xn ) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x0 , (или при x ® x0 ) при этом пишется
или
f (x ) ® A при x ® x0
В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.
Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x0 , если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х ¹ x0 , удовлетворяющих условию ½х — x0 ½ < d, x ¹ x0 , выполняется неравенство ½f (x ) — A½ < e.
Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х a , показательная функция ax , тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция
