Для подтверждения того, что наше врожденное арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm.
Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М. : Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу.
12. Танец квадратов
43. Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества ее изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007).
Прим. ред.: Аналогом данной книги на русском языке может служить книга Литцман В. Теорема Пифагора. М. : ГИФМЛ, 1960.
44. На странице 13 своей книги Маор объясняет, что слово «гипотенуза» означает «натянутая под», и указывает, что это имеет смысл, если считать, что гипотенуза прямоугольного треугольника находится внизу (см. евклидово доказательство теоремы Пифагора). Он также отмечает, что эта интерпретация хорошо вписывается в китайское слово, обозначающее гипотенузу, «сянь» (hsien) — струна, натянутая между двумя точками (как в лютне).
45. Дети и их родители насладятся съедобными иллюстрациями теоремы Пифагора, предложенными Джорджем Хартом на его постере Pythagorean crackers («Пифагорейские крекеры») для музея математики по адресу http://momath.org/home/pythagorean-crackers/.
46. Вот рассуждения, пропущенные во втором доказательстве. Возьмем равенство a/d = c/a и преобразуем его в d = a2/c. Аналогично преобразуя другое равенство, получим e = b2/c. Наконец, подставив выражения для d и e в равенство c = d + e, получим c = a2/c + b2/c. Теперь умножим обе части последнего равенства на c и выведем искомую формулу c2 = a2 + b2.
13. Кое-что из ничего
47. Все 13 книг Elements в одном удобном томе с большим количеством иллюстраций: Euclid’s Elements, edited by D. Densmore, (Green Lion Press, 2002). Еще один отличный перевод в формате PDF: http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html.
Прим. ред.: В английской традиции книги Евклида называются Elements («Элементы»), в отличие от русской традиции, где книги Евклида имеют название «Начала». Русское полное издание «Начал» Евклида: Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М. : ГТТИ, 1948–50.
48. Дополнительные сведения о Томасе Джефферсоне, о его преклонении перед Евклидом и Ньютоном и использовании им аксиоматического подхода при написании Декларации независимости, можно найти в книге I. B. Cohen, Science and the Founding Fathers, (W. W. Norton and Company), 1995 и J. Fauvel, Jefferson and mathematics на http://www.math.virginia.edu/Jefferson/jefferson.htm.
49. В этой главе я умолчал о ряде тонкостей в двух представленных доказательствах. Например, в доказательстве о равностороннем треугольнике неявно предполагается (как сделал Евклид), что две окружности пересекаются в какой-то определенной точке, которую мы обозначили С. Но нет никаких аксиом Евклида, подтверждающих это свойство, — нужна дополнительная аксиома о непрерывности окружностей. Бертран Рассел, в частности, отметил этот пробел в статье B. Russell, The Teaching of Euclid, Mathematical Gazette, Vol. 2, No. 33 (1902), рр. 165–167, доступна по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Russell_Euclid.html.
Другая тонкость в доказательстве того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, заключается в безоговорочном использовании постулата о пересечении параллельных прямых третьей. Этот постулат позволил нам построить линию, параллельную основанию треугольника. Но в другой геометрии (неевклидовой) может не быть ни одной линии, параллельной заданной, или существовать бесконечно много таких линий. В геометриях, столь же логически последовательных, как и Евклидова, углы треугольника не всегда равны 180 градусам. Таким образом, приведенное здесь доказательство Пифагора больше чем просто элегантное, оно говорит о глубинной природе самого пространства. Для получения дополнительных комментариев по этим вопросам см. блог A. Bogomolny, Anglesin triangle add to 180°: http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml и статью T. Beardon, When the angles of a triangle don’t add up to 180 degrees по адресу http://nrich.maths.org/1434.
14. Конический заговор
50. Информацию о конических сечениях и ссылки на обширную литературу о них см. http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section.
Прим. ред.: О конических сечениях популярно: И. Н. Бронштейн. Общие свойства конических сечений // Квант. 1975. № 5. О конических сечениях для читателей с математической подготовкой: Акопян А. В. , Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М. : МЦНМО, 2007.
51. Вы сможете дать разгуляться своей интуиции, наблюдая за онлайн-анимацией, созданной Лу Талманом, и обсудить свои идеи на его странице The geometry of the conic sections («Геометрия конических сечений»).
15. Непременное условие
52. График, представленный в главе, сделан для города Юпитер (США, Флорида) в 2011 году. Для удобства время восходов и заходов Солнца фиксировалось по Североамериканскому восточному времени (часовой пояс UTC -05:00) в течение всего года, чтобы избежать искусственного перерыва, вызванного переходом на летнее время.
Студентов удивляют подобные графики (например, некоторые из них ожидают увидеть кривые, похожие на треугольники, а не на округлые и гладкие кривые), что можно использовать для полезных классных занятий в старшей или средней школе. С педагогической целью см. статью A. Friedlander and T. Resnick, Sunrise, sunset, Montana Mathematics Enthusiast, Vol. 3, No. 2 (2006), рр. 249–255, которая доступна по адресу http://www.math.umt.edu/tmme/vol3no2/TMMEvol3no2_Israel_pp249_255.pdf.
Вывести формулы для времени восхода и захода солнца сложно, для этого понадобятся и математика, и физика. См., например, страницу T. L. Watts’s webpage Variation in the time of sunrise на http://www.physics.rutgers.edu/~twatts/sunrise/sunrise.html.
53. Предмет, любовно исследованный в книге E. Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
Прим. ред.: Русский источник по тригонометрии: Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. М. : МЦНМО, 2002.
54. Широкий обзор закономерностей в природе дан в P. Ball, The Self-Made Tapestry, Oxford University Press, 1999. Математические методы для этой области представлены в работе R. Hoyle, Pattern Formation, Cambridge University Press, 2006. Математический анализ полосок зебры, рисунков на крылышках бабочек и другие биологические примеры формообразования найдете в J. D. Murray, Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications, 3rd edition, Springer, 2003.
55. Связи между биологическим и космологическим структурообразованием — одна из многих радостей, которые можно найти в книге Janna Levin, How the Universe Got Spots, Princeton University Press, 2002, составленной из как будто неотправленных писем к матери. В книге математические и физические идеи изящно переплетаются с личным дневником молодого ученого, только начинающего научную деятельность.
56. Для ознакомления с понятиями инфляционной космологии следует обратиться к двум статьям Stephen Battersby: Introduction: Cosmology, New Scientist (September 4, 2006) по адресу http://www.newscientist.com/article/dn9988-introduction-cosmology.html и Best ever map of the early universe revealed, New Scientist, (March 17, 2006) по адресу http://www.newscientist.com/article/dn8862-best-ever-map-of-the-early-universe-revealed.html.
Аргументы в пользу инфляционной космологии остаются спорными. Ее сильные и слабые стороны рассматриваются в статье P. J. Steinhardt, The inflation debate: Is the theory at the heart of modern cosmology deeply flawed? Scientific American, (April 2011), pp.18–25.
16. Идти до предела
57. История философии и ее интеллектуальное наследие — парадоксы Зенона, обсуждаются в книге J. Mazur, Zeno’s Paradox, Plume, 2008.
Прим. ред.: Русскоязычный аналог: Асмус В. Ф. История античной философии. М. : Высшая школа, 1965.
58. О восхитительно своевольной и остроумной истории числа π можно узнать из книги P. Beckmann, A History of Pi (St. Martin’s Press, 1976).
59. Кто хочет посмотреть математическое обоснование Архимедова метода исчерпывания, обратитесь к http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html.
60. Все, кто интересуется героическими вычислениями π до очень высокой степени точности, должны воспользоваться страничкой Ричарда Престона о братьях Чудновских. Эта нежная и удивительно смешная история под названием The mountains of pi («Горы “пи”») появилась в номере еженедельного журнала New Yorker от 2 марта 1992 года; ее можно прочитать в вышедшей позднее книге R. Preston, Panic in Level Four (Random House, 2008).
61. Учебник, дающий представление об основных методах численного анализа: W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes, 3rd edition, Cambridge University Press, 2007.
Прим. ред.: Среди огромной литературы по методам численного анализа выделим только одну книгу, которая подойдет и для начинающих математиков: Бабенко К. И. Основы численного анализа. М. : Наука, 1986.
