Измученный болезнями Кантор чувствовал, что с помощью математики, ее логических законов и строгого аппарата сможет ответить на вопросы о бесконечности и природе пространства. До этого момента такой подход открыл перед ним настоящий «рай» неожиданных и великих математических открытий. Давид Гильберт говорил о них так: «Никто не сможет теперь изгнать нас из рая, открытого Кантором». На международном конгрессе математиков, состоявшемся в 1900 году, Гильберт представил гипотезу континуума Кантора, как первую из десяти проблем математики (позднее их стало 23), которые, как надеялся Гильберт, будут решены в XX веке. Тем не менее гипотеза континуума по сей день остается недоказанной: мы до сих пор не знаем, из чего состоит пространство и какова его структура в понятиях бесконечных множеств.
Я привел пример Кантора не только потому, что мы обсуждаем проблему бесконечности, имеющую непосредственное отношение к дискуссии о структуре и происхождении Вселенной, но и для того, чтобы показать, что в некоторых случаях строгий физико-логический анализ отказывается служить нам. Физики лишь пользуются математикой, но не творят ее. Истины, находящие применение в физике, выводятся часто в форме более общей, чем это требуется для конкретных приложений творцами чистой математики. Математическая деятельность отличается от работы физиков. Математики используют логику, но иногда руководствуются также интуицией и внутренними ощущениями. Бывает, что математики «видят» (порой даже во сне) результат, прежде чем строго его доказать.
Мы считаем, что Вселенной управляют строгие логические законы, но на самом деле квантовая теория и идеи чистой математики основаны не на одной только логике. Кантор руководствовался психологией не в меньшей мере, чем логикой. Здесь мы видим, как человеческий разум воспаряет над рационализмом и логическим мышлением. Человеческий разум опирается на сущности, выходящие за рамки механистических и эволюционных явлений; в них есть что-то еще, позволяющее нашему разуму творить вещи, недоступные компьютерам, собакам и обезьянам. Я верю, что этот таинственный элемент нашего сознания (например, способность Кантора видеть бездонную глубину бесконечности) имеет божественное происхождение.
В 1937 году блестящий австрийский математик (страдавший, как и Кантор, душевными расстройствами) Курт Гёдель сумел доказать, что, находясь внутри нашей математической системы, мы не в состоянии ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу континуума. (Доказательство Гёделя было в 1963 году дополнено Полом Коэном из Стэнфордского университета.) Это означает, что некоторые истины о бесконечности не могут быть нами познаны в принципе. Бесконечность настолько сложна, что, как бы мы ни старались, никогда не сможем познать ее до конца. Это высказывание – не догадка, не гипотеза, а математически строго доказанное утверждение, принятое всеми математиками мира.
Но Гёдель пошел дальше и получил самый глубокий и важный в истории математики результат. Теоремы Гёделя о неполноте утверждают, что у чисел есть свойства, в принципе для нас непознаваемые; мы никогда не сможем достоверно узнать, верны ли они. Кроме того, Гёдель показал, что, находясь внутри какой-либо математической системы, невозможно доказать ее непротиворчивость. С философской точки зрения Гёдель установил границу человеческого познания – некоторые истины находятся вне нашего познания и навсегда останутся таковыми.
В приложении к науке выводы теорем Гёделя тоже ясны: мы никогда не узнаем всего о нашей Вселенной, потому что являемся ее частью. Теоремы о неполноте показывают, что человек никогда не сможет с определенностью ответить на вопрос о существовании Бога.
Почему?
В течение всей истории науки математика была инструментом познания природы и ее законов. Для нерелятивистского объяснения гравитации мы пользуемся законами дифференциального и интегрального исчисления, созданного Ньютоном и Лейбницем. Математика позволяет нам полностью понять и использовать законы гравитации, даже сажать на Марсе космические зонды, если скорости объектов не близки к скорости света. Если скорости объектов приближаются к световой, а их массы становятся непомерно огромными, то на помощь приходит математика теории относительности (абсолютное дифференциальное исчисление Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита, тензорное исчисление и геометрия Римана) и превосходно справляется со своей задачей. В царстве микрокосма прекрасные ответы на поставленные наукой вопросы дает математика квантовой теории (названная Гильбертом методом пространств) – пусть даже теория не объясняет полностью происходящих в квантовом мире процессов. Но как нам двигаться дальше? Какая математика объяснит нам сокровенные, глубокие законы космоса? Кто-то может возразить, что для этого существует теория струн, но пока она не дает нам исчерпывающих ответов.
Гёдель, как и его предшественник Кантор, руководствовался способностями, выходящими за пределы простой логики. Он был одним из великих логиков своего времени, вероятно, даже, величайшим, но его личность, психология, ощущения и интуиция играли важную роль в математическом творчестве. В биографии Гёделя «Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя» («Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel») Джон Доусон пишет:
Многим современникам Гёделя казались необычными, натянутыми и странными его толкования исторических событий, фильмов, литературных произведений, политических и экономических проблем и даже вполне обыденных дел. Однако в математических изысканиях способность разглядеть возможности, привычно ускользавшие от других, очень хорошо служила Гёделю. В отличие от Рассела, например, Гёдель всерьез воспринял идею Гильберта о том, что математические проблемы надо исследовать математическими же методами.
Мы видим великий ум, фундаментально отличавшийся от заурядного рассудка, способный использовать строгую логику вне математики и мыслить вне логики, творя математические теории. Гёдель высказывал уникальные взгляды на Вселенную, и это позволило ему доказать, что для человеческих существ есть предел познаваемого.
Духовность, пусть даже несколько абстрактного свойства, играла важную роль в размышлениях Гёделя о мире. Доусон, сравнивая типы мышления Гёделя, Эйнштейна (которых связывала тесная дружба во время совместной работы в институте перспективных исследований в Принстоне в 40-е и 50-е годы) и Лейбница, писал:
Он разделял убеждение Эйнштейна в том, что мы живем в упорядоченной Вселенной, созданной Богом, который «не играет в кости»; он воспринял представления Лейбница о characteristica universalis и calculus ratiocinator… Его искренняя вера (множество раз доказанная) в мощь математической интуиции привела Гёделя к созданию аксиом, которые, как он считал, могли бы помочь ему доказать гипотезу континуума, найти последовательное доказательство арифметики, основанной на очевидных, пусть даже и абстрактных, принципах. Гёдель ожидал, что астрономические наблюдения со временем подтвердят его оригинальные представления о вращении Вселенной.
Гёдель был платоником, он верил, что числа и другие математические сущности обладают особым бытием, независимым от физической Вселенной. 26 августа 1930 года Гёдель в венском кафе «Рейхсрат» обсуждал идеи неполноты математических систем с несколькими логиками и интеллектуалами, включая Рудольфа Карнапа и Джона фон Неймана. В заметках, сделанных после этой встречи, Гёдель писал:
Люди не способны принять мои результаты из-за антиплатонического предрассудка. Этот факт означает, что предрассудки вредны.
Воззрения Платона хорошо согласуются с убеждением в том, что были сотворены некоторые глубинные структуры, трансцендентные в отношении материальной Вселенной. В философии Платона вычисления, числа и другие элементы математики существуют независимо и самостоятельно. Они не «развились» и не возникли «из ничего», а являются, вероятно, производными какой-то бесконечной мудрости, силы или сущности, пронизывающей Вселенную и превосходящей ее. Однако математика также содержит ключ к пониманию физической Вселенной и ее законов.
С другой стороны, математика демонстрирует нам собственную ограниченность. Благодаря теоремам Гёделя о неполноте мы достоверно знаем (ибо Гёдель строго доказал свои теоремы), что никогда не сможем познать некоторые истины о математической системе. К ним относится и модель строения физической Вселенной.
Само допущение о том, что Бог, скорее всего, «находится» где-то за пределами Вселенной, в которой мы обитаем, позволяет предположить, что вопрос о существовании Бога – одна из гёделевских математических истин, которая навсегда останется недоступной для нашего познания. Доподлинно мы не можем этого знать, так как не понимаем, как началась Вселенная, и не знаем, что ей предшествовало. Однако, поскольку мы уже признали полное отсутствие у нас информации о структурах, приведших к возникновению нашей Вселенной 13,7 миллиарда лет назад, то остается признать и высокую вероятность того, что человек никогда не получит достоверных знаний о том, существует Бог или нет.
