z1 Bn < sn — An < z2 Bn
имеет пределом при n ® ¥ — величину
(см. Нормальное распределение ). Довольно общие достаточные условия применимости центральной предельной теоремы были указаны Чебышевым (1887), но и в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть
ck = E |Xk — Е Хк |2+ d , d > 0
Cn = c1 + c2 +... + cn .
Если отношение стремится к нулю при n ® ¥, то к последовательности (*) применима центральная предельная теорема. Окончательное решение вопроса об условиях приложимости центральной предельной теоремы получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (1935).
Из др. направлений работ в области П. т. можно отметить следующие.
1) Начатые Марковым и продолженные Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы к суммам зависимых величин.
2) Даже в случае последовательности одинаково распределённых случайных величин можно указать простые примеры, когда суммы имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идёт о невырожденных распределениях, т. е. о распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке). В работах советских математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, французских математиков П. Леви, В. Дёблина и др. полностью изучены как класс возможных предельных распределении для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению.
3) Значительное внимание уделяется т. н. локальным П. т. Пусть, например, величины Xn принимают лишь целые значения. Тогда суммы sn принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей Pn (m ) того, что sn = m (где m — целое). Простейшим примером локальной П. т. может служить локальная теорема Лапласа (см. Лапласа теорема ).
4) П. т. в их классической постановке описывают поведение отдельной суммы sn с возрастанием номера n. Достаточно общие П. т. для вероятностей событий, зависящих сразу от нескольких сумм, получены впервые Колмогоровым (1931). Так, например, из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства
имеет пределом величину
(z > 0)
5) Перечисленные выше П, т. относятся к суммам случайных величин. Примером П. т. иного рода могут служить П. т. для членов вариационного ряда . Эти П. т. подробно изучены советскими математиками Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирновым.
6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., например, Повторного логарифма закон ).
Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. — Л., 1949; Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973.
Ю. В. Прохоров.
Предельные углеводороды
Преде'льные углеводоро'ды , то же, что насыщенные углеводороды .
Предельный цикл
Преде'льный цикл системы дифференциальный уравнений 2-го порядка
— замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy , обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t ® +¥ (устойчивый П. ц.), или при t ® -¥ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при t ® +¥, а остальные — при t ® -¥ (полуустойчивый П. ц.). Например, система
(r и j — полярные координаты), общее решение которой r = 1 – (1 – r 0 )e -t , j = j0 + t (где r 0 ³ 0), имеет устойчивый П. ц. r = 1 (см. рис. ). Понятие П. ц. переносится также на систему n -го порядка. С механической точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому периодическому режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.
Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.
Рис. к ст. Предельный цикл.
Предивинск
Преди'винск , посёлок городского типа в Большемуртинском районе Красноярского края РСФСР. Расположен на правом берегу Енисея, в 183 км ниже Красноярска. Леспромхоз.
Предикат (свойство отд. предмета)
Предика'т (от позднелат. praedicatum— сказанное), то же, что свойство; в узком смысле — свойство отдельного предмета, например «быть человеком», в широком смысле — свойство пары, тройки, вообще n- ки предметов, например «быть родственником». П. в широком смысле называют также отношениями.
Исторически понятие о П. явилось следствием логического анализа высказываний естественного языка, т. е. выяснения их логической структуры, выяснения того, какой логикой может быть выражен (формализован) смысл этих высказываний. Идея выделения логической структуры речи, в отличие от грамматической, для нужд логической дедукции принадлежит Аристотелю. В аристотелевской и в последующей «традиционной» логике П. понимался в узком смысле как один из двух терминов суждения, а именно тот, в котором нечто говорится о предмете речи — субъекте. Форма сказывания — предикативная связь — сводилась при этом к атрибутивной связи, т. е. выражала «присущность» предмету некоторого признака. Аристотель выделял 4 типа признаков, способных играть роль П.: родовые, видовые, собственные и случайные. Это т. н. предикабилии — типы сказуемых.
Логический анализ фраз естественного языка на том уровне представлений о логической дедукции, который был характерен для аристотелевской (и традиционной) логики, ограничивался, т. о., для выражения смысла высказываний логикой одноместных П. (логикой свойств в узком смысле). Это существенно ослабляло «выразительные возможности» логики и служило препятствием для адекватной формализации тех объективных связей между предметами, которые, будучи мыслимыми в виде отношений (свойств в широком смысле) между соответствующими понятиями, лежат в основе логической правильности умозаключений об отношениях — основных умозаключений в науке. Устранение указанного препятствия и усиление выразительных средств формализма современной логики связано, в частности, с восходящей к работе Г. Фреге «Исчисление понятий» (1879) новой трактовкой П. Главная идея этой трактовки — рассмотрение отношения предикации как частного случая функциональной зависимости. Это обеспечивает более ёмкое, чем аристотелевское, отображение смысловой структуры фраз естественного языка в формализме субъектно-предикатного типа и одновременно дальнейшее развитие самого этого формализма на пути сближения языков логики и математики.
Основой для «функциональной» точки зрения на П. служат в естественных и в искусственных (точных) языках выражения вида повествовательных предложений, содержащие неопределённые термины — неопределённые имена предметов: переменные (параметры) в записи утверждений в математическом языке, например х + 2 = 4; слова «нечто», «некто», «кто-либо» и пр., играющие в естественном языке роль переменных в выражениях типа: «Некто человек», «Кто-то любит кого-то», «Если кто-либо человек, то он смертен» и т.п. Записав эти выражения некоторым единым способом, например заменяя неопределённые термины пробелами, аналогично тому, как это делается в опросных бланках, «—+ 2 = 4», «—человек», «— любит —», «Если — человек, то — смертен», или же принимая запись с помощью переменных в качестве основной, «x + 2 = 4», «x человек», «х любит у », «Если х человек, то х смертен», легко заметить нечто общее между ними. Во-первых, наличие неопределённых терминов делает эти и подобные им выражения, вообще говоря, неопределёнными как в смысле того, что в них утверждается, так и в смысле их истинностного значения ; во-вторых, всякое подходящее указание на область значений неопределённых терминов и одновременная квантификация или замена неопределённых терминов их значениями преобразует соответствующие выражения в осмысленные высказывания. В современной логике выражения, имеющие вид повествовательных предложений и содержащие неопределённые термины, получили общее название пропозициональных функций, или, сохраняя традиционный термин, П. Как и числовые функции, П. являются соответствиями. Неопределённые термины играют в них обычную роль аргументов функции, но, в отличие от числовых функций, значениями П. служат высказывания. В общем случае, отвлекаясь от какого-либо определённого языка и сохраняя только функциональную форму записи, П. от n переменных (от n неопределенных терминов) выражают формулой P (x1 ,..., xn ), где n ³ 0. При n = 0 П. совпадает с высказыванием, при n = 1 П. будет свойством в узком смысле (1-местным П.), при n = 2 — свойством «пары» (2-местным П., или бинарным отношением), при n = 3 — свойством «тройки» (3-местным П., или тернарным отношением) и т.д. Выражения: «x + 2 = 4», «х человек», «х любит y», «х сын у и z » служат соответственно примерами 1-местного, 2-местного и 3-местного П. Они преобразуются в высказывания либо при надлежащей подстановке, например «2 + 2 = 4», «Сократ — человек», «Ксантиппа любит Сократа», «Софрониск — сын Ксантиппы и Сократа», либо при связывании переменных кванторными словами, например «$х (х + 2 = 4)» (существует число, которое в сумме с 2 даёт 4), «$ (х — человек)» (существуют люди), «"x$y$z (х сын у и z )>> (каждый является сыном по крайней мере двух родителей) и т.п., имея в виду, что области значений переменных в первом случае — числа, во втором — живые существа, в третьем — люди. (Подробнее о квантификации см. Квантор . )
