Благодаря своего корреспондента и высоко отзываясь о его методе, Блез предлагает собственный. Сначала он приводит конкретный пример, когда два игрока ставят по 32 пистоли на следующих условиях: кто первым выиграет три партии, берет обе ставки. Если предположить, что первый игрок уже выиграл две партии, а второй — одну и что играется четвертая партия, то в таком случае возможны следующие варианты: выигрыш первого игрока приносит ему 64 пистоли, а второму — ничего; выигрыш второго дает каждому по 32 пистоли (при прекращении игры). Но если они решили не проводить четвертую партию, то как разделить ставки? Первый игрок, пишет Блез, учитывая возможные результаты четвертой партии, должен сказать: «32 пистоли мне обеспечены, ибо даже в случае проигрыша я их получил бы, но остальные 32 с равными шансами могу иметь и я, и вы; таким образом, разделите их пополам и дайте мне, кроме того, еще верные 32 пистоли». Следовательно, первому игроку достанется 3/4ставки (48 пистолей), а второму — 1/4(16 пистолей). (Сравним с рассуждением Пачоли, согласно которому первый получил бы 2/3 ставки, а второй — 1/3.)
Затем Блез разбирает другой вариант раздела ставок, когда первый игрок уже выиграл две партии, а второй не выиграл ни одной. Если бы игралась третья партия, то были бы возможны два исхода: выигрыш первого игрока давал бы ему все 64 пистоли, а выигрыш второго приводил бы раздел ставок к предшествующему случаю (первому — 48, а второму — 16 пистолей). Если же решено прервать игру перед третьей партией, то первый игрок должен сказать: «При выигрыше третьей партии мне достанутся все 64 пистоли, при проигрыше ее мне законно принадлежат 48 пистолей; следовательно, дайте мне эти 48 пистолей, а остальные 16 разделим пополам, ибо у нас равные шансы выиграть их». Таким образом, первому игроку достанется 7/8 ставки (56 пистолей), а второму — 1/8 (8 пистолей).
Наконец, Блез переходит к третьему варианту разделения ставок, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй не выиграл ни одной. Розыгрыш следующей партии мог бы дать два результата: победа первого игрока давала бы ему, как в предыдущем случае, 56 пистолей, а победа второго приводила бы к равному распределению ставки (каждому по 32 пистоли). Если же вторая партия не разыгрывается, то первый игрок должен сказать: «Дайте мне 32 уже обеспеченные пистоли, а оставшиеся от 56, то есть 24, разделим пополам. Следовательно, мне принадлежат 32 + 12 = 44 пистоли». Таким образом, первому игроку достанется 11/16 ставки, а второму — 8/16 (20 пистолей).
Паскаль делит ставку пропорционально вероятности выигрыша при различных вариантах продолжения игры и фактически пользуется теоремами сложения и умножения вероятностей, а также понятием математического ожидания. Его метод, пишет Эмиль Пикар, удивительно прост: «Составляя уравнение с конечными остатками, он изобретает один из двух аналитических методов подсчета вероятностей. Другой метод, основанный на комбинаторной теории, был дан одновременно Ферма. Такая любопытная переписка между двумя великими умами делает нас свидетелями зарождения первых принципов исчисления вероятностей».
Комбинаторный метод Ферма, который в письме к Каркави от 9 августа 1654 года выражал бесконечное восхищение талантом молодого Паскаля и считал его способным довести до успешного конца любые начинания, известен из послания Блеза знаменитому тулузцу, датированного 24 августа 1654 года. В нем, в частности, приводится пример решения Ферма третьего варианта Паскалева разделения ставки, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй не выиграл ни одной. Тулузец исходит из вероятности выигрыша всей игры: для ее окончания максимально потребовалось бы еще четыре партии, и он рассматривает возможные комбинации (их всего шестнадцать) результатов этих четырех партий, которые можно записать следующим образом (выигранные первым игроком партии обозначаются знаком +, выигранные вторым — знаком —):
Только в пяти последних исходах победителем оказывается второй игрок, одиннадцать же первых благоприятны для выигрыша его соперника. Следовательно, первый игрок должен получить 11/16 ставки, а второй — 5/16.
Полученный разными методами одинаковый результат заставляет Блеза в письме к Ферма высказать свое удо-
вольствие по поводу того, что «истина одна и та же и в Париже и в Тулузе». Хотя в процессе переписки выявились некоторые расхождения, они быстро устранились, и 27 октября 1654 года Паскаль отвечает своему корреспонденту: «Ваше последнее письмо меня полностью удовлетворило. Я восхищаюсь вашим методом раздела ставки, тем более что вполне его понимаю; оп целиком ваш, не имеет ничего общего с моим и легко приводит к той же цели. Итак, наше взаимопонимание восстановлено».
Известный историк математики Цейтен пишет, что задача де Мере позволила Паскалю и Ферма нащупать общие принципы подобного рода исследований. «Найденные дроби 11/16 и 5/16, — отмечает Цейтен, — величины, которые мы теперь называем вероятностями выигрыша А или Б; это частное от деления числа случаев, благоприятных для А или Б, на число всех возможных случаев. Таким образом, этим понятием вероятности пользовались, по существу, уже в то время, хотя ему не дано еще было четкого определения».
Более четкое и общее определение дал Гюйгенс, занявшийся вероятностными проблемами под влиянием сообщений об исследованиях Ферма и Паскаля, который в изданном в 1657 году сочинении «О расчетах в азартных играх» своеобразно (под влиянием коммерческой терминологии) сформулировал и систематически использовал понятие математического ожидания: «Если число случаев, в которых получается сумма а, равно р и число случаев, в которых получается сумма b, равно q и все случаи могут получиться одинаково легко, то стоимость моего ожидания равна (pa+qb)/(p+q)».
Дальнейшее развитие новой отрасли математики связано с успехами естествознания и статистики и с именами таких известных ученых, как Я. Бернулли, Лаплас, Пуассон, Чебышев и другие. Следует, однако, заметить, что возможности этого развития и философского углубления теории вероятностей содержались и в собственных, видимо, не осуществленных планах Паскаля. Когда в конце 1654 года Блез направил «знаменитейшей Парижской математической академии наук» послание с перечислением своих работ, он указал среди них «совершенно новый трактат о случайных комбинациях, которым подчинены азартные игры», где «колебания счастья и удачи подчиняются рассуждениям, опирающимся на справедливость и ставящим себе целью, чтобы каждый игрок неизменно получал то, что ему по праву точно причитается. Это тем в большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей мере может быть найдено из опыта. Ведь неопределенный исход явления теснее связан со случайностью, чем с законами природы. Поэтому подобные вопросы оставались нерешенными; теперь же то, что не поддавалось опыту, не может избегнуть власти разума, и мы с тем большей уверенностью подчинили их искусству математики, чтобы, овладев ими отчасти, смелее продвигаться вперед. Так математическая строгость доказательств сочетается с неопределенностью случайного и тем соединяет кажущиеся противоположности. От этой двойственности метод заимствует свое наименование, дерзко присваивая себе по праву нелепое название «математика случайного».
Однако «нелепость» и «дерзость» «математики случайного» в значительной мере устранялись тем, что в теории вероятностей, зарождавшейся из азартных игр, случай лишался своего абсолютного значения и подлинности (внезапности, неожиданности, таинственности) и превращался в реальную возможность, функционально зависимую от ожидания исполнения заранее принятых условий. Деньги, поставленные игроками на кон, писал сам Паскаль, уже не принадлежат им; но, теряя денежную собственность, игроки «приобретают право ожидания того, что случай может им дать согласно заранее оговоренным условиям».
Предварительные «правила игры» поддаются абстрактному комбинаторному исчислению и позволяют решать частные вероятностные задачи более общими методами. Так, у Паскаля имеется общее решение о разделении ставки между двумя игроками на основе изучения арифметического треугольника, названного впоследствии его именем.
«Трактат об арифметическом треугольнике» создан в период переписки с Ферма (издан в 1665 году) и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных проблем. Арифметический треугольник представляет собой числовую таблицу, верхняя строчка и первый столбец которой образованы единицами, а каждая клетка следующей строчки заполнена цифрой, получаемой от сложения чисел над данной клеткой и слева от нее. Так же образуются числа нижеследующих строк (этот процесс можно продолжать сколько угодно). Числа третьей строки назывались треугольными, четвертой — пирамидальными и т. д. Числаарифметического треугольника являются числами сочетаний, подсчитываемыми по формуле
