Погрешности появлялись при измерениях из-за «неидеальности» астрономических инструментов. Неточное знание (автором Альмагеста) фундаментальных астрономических параметров, например угла между плоскостями эклиптики и экватора, также порождало погрешности. Могли быть и искажения, допускавшиеся автором сознательно. Так, увеличение или уменьшение эклиптикальных долгот на некоторую постоянную величину может «старить» или «омолаживать» наблюдательные данные каталога (из-за прецессии).
Для анализа мы взяли каталог в том виде, в каком юн приведен в изданиях [a4], [а5] и в фундаментальном труде [а6]. И хотя в известной работе [а6] исследуются многие проблемы из тех, что упоминались выше, мы сочли необходимым провести все расчеты заново.
Понятно, что предварительно надо было «очистить» каталог от звезд, координаты которых заведомо сильно искажены, имеют погрешность, превышающую, скажем, 1 градус. Помимо этого, нами была проверена идентификация звезд каталога со звездами «современного неба», содержащаяся в труде [а6]. Как и следовало ожидать, она была в целом подтверждена. Однако было обнаружено несколько звезд, идентифицируемых неоднозначно (например, О2 Эридана). Впрочем, на данное обстоятельство обращалось внимание и в труде [а6]. Звезды, имеющие неоднозначные отождествления, были из рассмотрения исключены как не информативные. В результате в «очищенном» каталоге Альмагеста осталось 864 звезды.
Чтобы продвинуться дальше, потребовались более тонкие методы. Прежде всего пришлось выявить систематическую ошибку в координатах звезд, возникающую при определении положения эклиптики в момент наблюдения. Если составитель каталога неправильно нашел ее положение, то координаты всех звезд исказятся.
Положение плоскости эклиптики (или, что то же, положение полюса эклиптики), равно как и положение точки весеннего равноденствия, являются результатами достаточно тонких измерений. Представим себе, что составитель каталога совершил ошибку в измерении и вместо истинной эклиптики использовал «ошибочную» эклиптику, а также вместо истинной точки равноденствия использовал «ошибочную» точку равноденствия. Это приведет к смещению полюса эклиптики. Но тогда и координаты всех звезд изменятся. Смещенное положение плоскости эклиптики можно полностью параметризовать двумя углами. Отметим, что они полностью определяют результирующую широтную ошибку, тогда как для определения долготной ошибки нужно знать еще ошибку в определении точки весеннего равноденствия. Данное обстоятельство послужило одним из аргументов в пользу использования для датировки лишь широтных координат звезд из Альмагеста. Дополнительным аргументом явился вывод Р. Ньютона [а4] о поддельности долгот звезд в звездном каталоге Альмагеста. Рассмотрение одних лишь широтных координат позволяет устранить из рассмотрения дополнительный источник ошибок. Вместе с тем, как оказалось, знания широт вполне хватает для решения поставленных задач датировки.
Описанная выше систематическая ошибка вполне аналогична ошибке, которую совершает стрелок в тире, пользуясь не пристрелянным ружьем: даже при точном прицеле из-за неотрегулированности «мушки» будет поражаться не центр мишени, а какая-то иная точка. В реальной ситуации на ошибку из-за непристрелянности налагается еще и индивидуальная ошибка стрелка. В нашем случае к истинной широте звезды добавляются как систематическая, так и индивидуальная случайная ошибка (условно назовем ее ошибкой измерения) в определении широты звезды. Естественно предположить, что среднее значение последней ошибки (по большой совокупности звезд) равно 0.
В этих условиях можно, анализируя координаты всех 864 звезд «очищенного» каталога и пользуясь стандартными методами математической статистики, найти систематическую ошибку (как функцию времени). Оказалось, что она изображается графиком, на основании которого можно сделать вывод, что автор Альмагеста действительно ошибся в определении угла между эклиптикой и экватором. Конечно, мы нашли не точные величины угловой ошибки, а так называемый «доверительный интервал», в котором значение истинной ошибки лежит с высокой вероятностью (в нашей работе — 99,5 %).
Зададимся теперь вопросом, а зачем, собственно, потребовалось определять эту ошибку? Дело в том, что, зная систематическую ошибку, теперь можно ее устранить (скомпенсировать). То есть вместо искаженных широт, записанных составителем в каталог Альмагеста, теперь можно рассмотреть более правильные значения, которые отличаются от истинных широт лишь на неизвестную нам величину индивидуальной ошибки и представляют собой «рафинированные» результаты измерений, которые составитель записал бы в каталог, если бы определил положение эклиптики абсолютно точно. Таким образом, математическая статистика позволила на данном этапе отделить «зерна от плевел» и выяснить, какова была систематическая ошибка и чему равнялись собственно ошибки измерения. Заодно удалось проверить и претензии составителя каталога на заявленную им точность. Оказалось, что найденное нами среднеквадратичное значение индивидуальных ошибок, характеризующее точность измерений, подтверждает претензии составителя каталога на точность в 10'. Мы имеем в виду следующее.
Для уточнения полученного результата мы проанализировали по отдельности разные участки небосвода Альмагеста и в результате удалось разбить его на «однородные области». Сразу скажем, что результат оказался неодинаков для разных областей на небосводе, а их на звездном небе Альмагеста обнаружено семь. Области различаются по точности, с которыми были измерены широты. Причем оказалось, что положение звезд, входящих в каждую из областей, «в среднем» было измерено примерно с одинаковой ошибкой.
Область А оказалась не только самой большой, но и «наиболее точной» из всех остальных. Для большей части её звезд после компенсации (вычитания) систематической ошибки широтная невязка (т. е. точность измерения широт) стала меньше 10'. В то время как до компенсации систематической ошибки подобную точность имели лишь 30 % звезд. Становится понятным, почему в Альмагесте была выбрана цена деления в 10': наблюдая основную массу звезд с такой погрешностью, автор вправе был взять указанную величину в качестве отправной в масштабной шкале.
По-видимому, автор каталога придавал области А особое значение. Она явно очерчена именными звездами Альмагеста, которых 12. Именные звезды — это те, которые снабжены названиями в каталоге Альмагеста.
Чтобы области легче было сравнивать, разобьем их на пары: А и В, Зодиак А и Зодиак В, С и D. Оказалось, что у каждой пары в области, расположенной справа от Млечного Пути, измерения выполнены точнее, чем в той, что лежит слева. Можно говорить о «хорошей» в данной паре области и о «плохой». Млечный Путь оказывается «средней» областью, но более близкой к «плохой». Мы видим, что он делит звездное небо на две неравные части: одну «хорошую», другую «плохую». Причем «хорошая» существенно больше «плохой». Можно по-разному объяснять такой факт. И хотя наши выводы совершенно не зависят от того, каким будет объяснение, предложим свою гипотезу. Вероятно, звезды справа от Млечного Пути измерены точнее потому, что наблюдались весной и летом, когда условия благоприятствуют наблюдениям. В то время как области слева, по-видимому, исследовались осенью и зимой. Дело в том, что «хорошая» область лучше «видна» как раз весной и летом, а ее антипод — наоборот, зимой и осенью.
Итак, статистический анализ позволяет сделать вывод, что в Альмагесте наиболее точно измерены звезды из совокупности Зодиак А. Это и неудивительно, ведь звездам Зодиака всегда уделялось особое внимание. Кроме того, именно в этой области и в непосредственной близости от нее находятся семь (из 12) именных звезд (т. е. звезд, имеющих в каталоге имена собственные, чем подчеркивалась их особая важность для составителя).
Для того чтобы определить дату составления каталога, следует воспользоваться эффектом (неизвестным древним астрономам) движения звезд по небесной сфере и изменением вследствие этого геометрии их конфигурации со временем.
Базируясь на том обстоятельстве, что нами была подтверждена заявленная точность составителя каталога (по крайней мере для большинства звезд), резонно выдвинуть гипотезу, что в момент наблюдения индивидуальные ошибки измерений координат наиболее важных звезд не превышали заявленной точности в 10'. Для датировки каталога нужна информация о том, какие звезды измерены составителем каталога наиболее тщательно. Естественно было предположить, что в их число входят 12 именных звезд Альмагеста. Это яркие звезды, образующие на небе хорошо заметный базис. Однако и к ним нельзя относиться одинаково. Например, Канопус — слишком «южная» звезда, подверженная сильным рефракционным искажениям, и ее широта в Альмагесте приведена ч; ошибкой более 1 градуса. У звезды Превиндемиатрикс вообще во всех известных списках и ранних изданиях Альмагеста координаты имеют погрешность несколько градусов. Аквила и Сириус тоже выпадают из рассмотрения, поскольку принадлежат тем областям неба, где широтные ошибки даже после компенсации систематической ошибки слишком велики (около 20').
