Эта особенность Вселенной кажется столь фундаментальной и естественной, что обычно даже не упоминается. Тем не менее, в 1919 г. малоизвестный польский математик Теодор Калуца из Кёнигсбергского университета дерзнул бросить вызов очевидному — он предположил, что в действительности Вселенная может иметь не три измерения, число измерений может быть больше. Иногда предположения, звучащие бессмысленно, таковыми и являются. Иногда они потрясают основы физики. Хотя потребовалось некоторое время на то, чтобы предположение Калуцы получило общее признание, оно привело к революции в формулировке физических законов. Отзвуки этого провидческого прозрения мы слышим до сих пор.
Идея Калуцы и уточнение Клейна
Предположение о том, что наша Вселенная может иметь более трёх пространственных измерений, может показаться бессмысленным, эксцентричным или мистическим. Однако в действительности оно является вполне реальным и тщательно обоснованным. Убедиться в этом будет проще, если на время оставить в покое Вселенную и рассмотреть более привычный объект, например длинный и тонкий Садовый шланг.
Представим, что несколько сотен метров Садового шланга протянуто поперёк каньона, и мы наблюдаем его с расстояния, скажем, в километр, как показано на рис. 8.1а. С такого расстояния хорошо видна горизонтальная протяжённость длинного развёрнутого шланга, однако, если только вы не обладаете орлиным зрением, вам будет трудно оценить его обхват. Наблюдая шланг с такого большого расстояния, вы можете подумать, что если бы на шланге жил муравей, у него было бы только одно измерение для прогулок: влево-вправо вдоль шланга. Если бы вас попросили указать, где этот муравей находится в какой-то момент времени, вам достаточно было бы указать только одно число: расстояние от муравья до левого (или правого) конца шланга. Основная идея этих рассуждений состоит в том, что с расстояния в километр длинный кусок Садового шланга выглядит одномерным объектом.
Рис. 8.1. а) Садовый шланг со значительного расстояния выглядит одномерным объектом. б) При увеличении становится видимым второе измерение — то, которое имеет форму окружности, охватывающей ось шланга
На самом деле известно, что у шланга есть обхват. Вам, быть может, трудно разглядеть это с расстояния в километр, но если вы вооружитесь биноклем, он увеличит изображение шланга, и вы сможете увидеть это обхват непосредственно, как показано на рис. 8.1б. Рассматривая увеличенное изображение, вы увидите, что у маленького муравья, живущего на шланге, на самом деле есть два независимых направления для прогулок. Одно из них, как вы уже заметили, проходит влево-вправо по длине шланга, а второе — это измерение «по часовой стрелке — против часовой стрелки», расположенное по окружности шланга. Теперь вы понимаете, что для того, чтобы сказать, где ваш крошечный муравей находится в заданный момент, вы должны указать два числа: положение муравья вдоль длины шланга и его положение на окружности. Это отражает тот факт, что поверхность Садового шланга является двумерной.{58}
Эти два измерения явно различаются. Направление вдоль шланга является длинным, протяжённым, и хорошо видимым. Направление, опоясывающее шланг, является коротким, «свёрнутым» и трудноразличимым. Для того чтобы узнать о существовании циклического измерения, приходится исследовать шланг с существенно большим разрешением.
Этот пример подчёркивает неочевидную и важную особенность пространственных измерений: они могут быть двух видов. Они могут быть просторными, протяжёнными и, вследствие этого, доступными непосредственному наблюдению, но они также могут быть маленькими, скрученными и гораздо менее поддающимися обнаружению. Конечно, в нашем примере не пришлось тратить слишком много усилий на то, чтобы обнаружить «свёрнутое» измерение, опоясывающее ось шланга. Вам было достаточно воспользоваться биноклем. Однако если вам придётся иметь дело с очень тонким Садовым шлангом, имеющим обхват волоса или капилляра, обнаружить свёрнутое измерение будет не так-то просто.
В статье, которую Калуца отправил Эйнштейну в 1919 г., он высказал удивительное предположение. Калуца утверждал, что пространственная структура Вселенной может содержать больше измерений, чем три известных нам из жизненного опыта. Как мы вскоре увидим, мотивом для столь радикальной гипотезы было то, что она позволяла построить элегантный и мощный аппарат, объединяющий общую теорию относительности Эйнштейна и теорию электромагнитного поля Максвелла в единую и однородную концептуальную систему. Но как это предложение может согласовываться с тем очевидным фактом, что мы видим в точности три пространственных измерения?
Ответ, который в неявной форме содержится в работе Калуцы, и который позднее был выражен в явном виде и уточнён шведским математиком Оскаром Клейном в 1926 г., состоит в том, что структура пространства нашей Вселенной может содержать как протяжённые, так и свёрнутые измерения. Это значит, что в нашей Вселенной есть измерения, которые являются просторными, протяжёнными и легко доступными для наблюдения, подобно длине Садового шланга. Однако, подобно циклическому измерению того же шланга, Вселенная может содержать и дополнительные пространственные измерения, которые туго скручены в ничтожно малой области — столь малой, что она не может быть обнаружена даже с помощью самого современного экспериментального оборудования.
Чтобы получить более ясное представление о сути этого замечательного предложения, вернёмся на минуту к примеру с Садовым шлангом. Представим себе, что на шланге чёрной краской нарисовано с малым шагом большое количество охватывающих его окружностей. Издалека шланг по-прежнему выглядит тонкой одномерной линией. Но, взглянув на него в бинокль, вы обнаружите свёрнутое измерение; после окраски найти его будет ещё легче, чем раньше. Оно будет выглядеть так, как показано на рис. 8.2. Ясно видно, что поверхность шланга является двумерной, с одним крупным и протяжённым измерением, а другим небольшим и имеющим форму окружности. Калуца и Клейн предположили, что аналогичную структуру имеет и наша Вселенная, только в ней имеется три обычных, протяжённых измерения и одно маленькое, циклическое; таким образом, общее число пространственных измерений равно четырём. Нарисовать предмет в пространстве с таким числом измерений непросто, поэтому для большей наглядности мы ограничились случаем двух протяжённых и одного маленького циклического измерения. Мы изобразили это на рис. 8.3, где структура пространства последовательно увеличивается примерно так же, как в случае поверхности Садового шланга.
Рис. 8.2. Поверхность Садового шланга является двумерной. Одно измерение (идущее вдоль горизонтальной оси шланга), отмеченное прямой стрелкой, является длинным и протяжённым. Другое измерение (окружность шланга), отмеченное круговой стрелкой, является маленьким и свёрнутым
Рис. 8.3. Как и на рис. 8.1, каждый последующий уровень представляет значительное увеличение пространственной структуры, показанной на предыдущем уровне. Видно, что наша Вселенная может иметь дополнительные измерения (как это показано на четвёртом уровне увеличения), коль скоро они свёрнуты в столь малые пространственные образования, что не поддаются прямому наблюдению
Самое нижнее изображение на рисунке показывает видимую структуру пространства — обычный окружающий нас мир в привычном масштабе расстояний, например, в метрах. Эти расстояния представлены самой редкой сеткой. На последующих изображениях структура пространства показана со всё большим увеличением: мы фокусируем взгляд на всё меньших областях, которые последовательно увеличиваем, чтобы сделать их видимыми. Сначала при переходе к меньшим расстояниям не происходит ничего особенного; на первых трёх уровнях увеличения пространство сохраняет основные особенности своей структуры. Однако, по мере того как мы продолжаем наше путешествие вглубь микромира, на четвёртом уровне увеличения на рис. 8.3 появляется новое, свёрнутое циклическое измерение, напоминающее круговые петли на ковре плотной вязки. Калуца и Клейн предположили, что дополнительное циклическое измерение существует в каждой точке пространства, определяемого протяжёнными измерениями, точно так же, как круговой ободок существует в каждой точке вдоль оси развёрнутого горизонтального шланга. (Для большей наглядности мы изобразили циклические измерения только в точках, равномерно расположенных на протяжённых измерениях.) На рис. 8.4 крупным планом показана микроструктура пространства, какой её видели Калуца и Клейн.
