Неопределимы также и такие философские категории как «время», «пространство», «материя» и т. д. Это такие «первопонятия», кирпичики, которые мы познаём интуитивно, из опыта и на основе которых начинаем строить другие, более сложные понятия.
Евклид предпочёл дать какие-то пояснения понятиям «точка» и «прямая», а современная математика честно признаётся, что эти понятия неопределимы.
С. Ёлкин . Ну, давайте уж идти до конца! Это значит, и понятие «проходить» тоже не определено. То есть не определены все слова, из которых состоит аксиома! Вы утверждаете, что математика занимается отношениями, а понятие «отношение» определено? Нельзя слепо доверять классикам, хотя бы потому, что сами классики не доверяли своим предшественникам, тоже классикам. Кстати мне тоже можете не доверять, хотя я пока не классик!
А. Трушечкин . Да, совершенно верно, я об этом выше написал, что и сами отношения не определены. Просто постулируется, что они имеются. Не определены все слова, из которых состоит аксиома!
В аксиомах понятия не определяются, а вводятся. В аксиомах геометрии вводится, что есть такие понятия, как «точка» и «прямая», и между ними существует отношение принадлежности. Далее аксиомы фиксируют правила работы с этими понятиями, утверждения, связанные с ними. И дальше математик работает.
А наполнение всей этой абстрактной конструкции конкретным смыслом (из физики, из жизни) – это уже другой вопрос.
В современной математике принято различать язык и метаязык (язык над языком). Как сказано выше, аксиомы вводят определённый язык, с которым дальше можно работать, составлять на этом языке какие-то фразы, предложения. Но чтобы сформулировать эти аксиомы, мы уже должны на каком-то языке разговаривать. В данном случае это естественный язык – русский (мы), немецкий (Гильберт), древнегреческий (Евклид) и т. д.
Метаязык – это язык, с помощью которого вводится интересующий нас язык (язык геометрии). В дальнейшем понятия из языка и из метаязыка не должны смешиваться. Сформулировали по-русски аксиомы геометрии – а дальше, работая с геометрией, мы используем только понятия и правила языка геометрии. Именно в этом смысле математика – наука строгая и однозначная.
Так вот «отношение» в данном контексте – это слово из метаязыка. Иначе говоря, в данном случае оно не принадлежит самой математике (геометрии), а принадлежит русскому языку.
Хотя известно, что есть раздел математики «исчисление отношений». Здесь отношение становится уже математическим объектом. Если можно так выразиться, исчисление отношений занимается отношениями между отношениями!
С. Ёлкин . Скажите, если я начну вводить понятия геометрии на таукитянском языке, то вы поймёте и сможете развивать геометрию? Не будем затягивать, ответ очевиден… Нет!
То есть вам для формулировки строгой и однозначной математики нужен хоть какой-то, но язык, а он не может быть точным и строгим по своей природе. Отсюда считаю, что доказал утверждение Жубера об исчезновении аксиом. Либо аксиомы неоднозначны и нестроги, либо они лишены содержания. А вещь без содержания ничто.
Очень похоже на теорему К. Гёделя: «Либо математика не полна, либо противоречива». Для доказательства очевидной вещи Курт Гёдель написал том страниц на триста, а в конце концов всё равно использовал парадоксальное утверждение: «я (теорема) недоказуема».
А. Трушечкин . Метод математики: отгородиться от нестрогого естественного языка, создав (на этом языке) специфический узкий язык со строгими правилами и запретив дальнейшее примешивание нашего языка к математическим рассуждениям.
Жубер, с которого начался диспут, в сущности, сказал не то, что наш язык неоднозначен (это очевидно), а то, что если бы он был однозначным, мы бы лишились не только поэзии и эстетики, но даже и аксиом. Вопрос, как я понимаю, в том, смогли ли бы мы сформулировать аксиомы, если бы наш язык был однозначным? Например, писать стихи точно не смогли бы. Моё предположение: если б наш язык был однозначным, в аксиомах бы, возможно, не было нужды. Поэтому бы их и не было.
Гёделю как раз и потребовалось триста страниц, чтобы математически сформулировать теорему, утверждающую о собственной недоказуемости, доказать, что такая теорема в самом деле существует.
Пока мы пришли к выводу, что для формулировки аксиом, мы уже должны обладать нашим языком, который по своей природе неточный (иначе не было бы нужды в математическом подходе). И есть разница в утверждениях: «аксиомы неоднозначны и нестроги» и «аксиомы сформулированы на языке, который в принципе (!) допускает неоднозначность и нестрогость».
Если русский язык допускает нестрогость в принципе, это не значит, что она присутствует в любой фразе. Когда я говорю: «Я иду обедать», то здесь всё однозначно (по крайней мере, если есть соглашение о контексте). Также и с аксиомами: они вводят понятия, с которыми мы будем работать, и правила работы с ними. Сформулированы они однозначно, несмотря на то, что в других ситуациях язык может быть неоднозначным. Скажем так, русский (и любой другой естественный) язык – очень богатый, он обычно работает в «неоднозначном режиме», но допускает и специальный «однозначный режим». Математика – это и есть этот «однозначный режим».
С. Ёлкин . Что такое «специальный режим для русского языка»? Ни в одной книжке по лингвистике я не обнаружил какого-то особенного специального режима для русского или иного языков.
Уменьшение количества толкований слова или предложения или фразы задаётся, как вы сказали, контекстом. Контекст [103] – штука плохо формализуемая, в противном случае задача машинного перевода была бы решена.
Например, фраза, которая долго висела на рекламных баннерах: «Время есть». Что это? «Время идти принимать пищу» или «ещё осталось немного времени»? Я задал контекст, уточняя в вопросе эту фразу. Но как я это сделал? Если изменить фразу: «Время поесть», то ясно, что пора покушать. Казалось бы, неоднозначность исчезла! Как бы не так! Кому пора, где пора, почему пора и т д. поесть? Ответа нет. Нет и однозначности. Теперь к аксиоме. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. Где эта точка? Что за прямые? Кто может осуществить эту возможность и провести бесконечное множество прямых? Да и про какую геометрию вы вообще говорите? У одного Гильберта аксиом геометрии, если мне не изменяет память, двенадцать! Значит, эта аксиома допустима в очень большом числе возможных геометрий!
А. Трушечкин . Когда мы формулируем аксиомы, мы не интересуемся этими вопросами. Вот есть точка, а есть прямая, между ними существует определённое отношение, при обращении с этими тремя объектами надо соблюдать определённые правила. Сами правила сформулированы чётко. В этом смысле аксиомы чёткие и однозначные.
А откуда они взялись, что они означают, кто их может осуществить, где это всё находится и т. д. и т. п. – от этих вопросов мы абстрагируемся. От вопроса, какие ещё могут быть аксиомы, мы пока тоже абстрагировались. Сформулировали правила, с ними и работаем, а что можно было ещё массу разных правил придумать – это понятно. Но мы работаем с данными правилами.
Ещё пара замечаний. Можно провести аналогию между аксиоматическими системами и правилами, например, шахмат или шашек. Правила сформулированы на естественном языке, но тем не менее, правила однозначны.
Спрашивать: «Где эта точка? Что за прямые? Кто может осуществить эту возможность и провести бесконечное множество прямых?» – это всё равно, что в шахматах спрашивать: «Как мы прокормим коня?» А ещё лучше – целого слона! Мы не имеем права задавать вопросы, выходящие за пределы тех объектов и отношений между ними, которые зафиксированы в правилах.
В доказательство того, что шахматные правила сформулированы однозначно – я ни разу не слышал, чтоб на шахматных соревнованиях возникали вопросы, как можно ходить, а как нельзя! Да, обсуждаема неоднозначность, связанная с необходимостью записывать партию. Но это неоднозначность не шахматных правил, а правил проведения шахматных турниров, эти правила относятся уже к людям, а не к фигурам. По самим же шахматным правилам, то есть по вопросам, какие ходы на доске делать можно, а какие нет, как определяется победитель, исходя из позиции на доске, двузначностей никогда не возникало.
Так же и в математике: никогда не слышал, чтобы кто-то интерпретировал ту или иную аксиому двояко! Математики выясняют, является ли та или иная аксиоматика полной, непротиворечивой, независимой, разрешимой, но никогда не слышал, чтобы они обсуждали, как надо понимать какую-то отдельную аксиому! Так что аксиомы сформулированы однозначно.
А то, что существует множество геометрий – это аналог тому, что существует множество вариантов игры в шашки (включая «чапаевцев», когда шашки сбиваются с поля щелчком). Шашки и доска одни и те же (если не считать стоклеточных шашек), а правила могут быть разные. Но если мы зафиксировали правила, по которым мы играем, то всё однозначно.
