Рис. 9.2. Если ракета в видеоигре исчезает за правым краем экрана, то снова появляется слева. Если она исчезает за верхним краем, то снова появляется снизу. Теперь свернем экран так, чтобы совместить идентичные углы. Сначала совместим верхние и нижние края, свернув экран в трубку. Затем совместим левую и правую стороны, согнув трубку. Таким образом, можно продемонстрировать, что экран в видеоигре с топологической точки зрения представляет собой бублик.
Мы превратили лист бумаги в фигуру, похожую на бублик. Можно сказать, что ракета, перемещающаяся по экрану в видеоигре, движется по внутренней поверхности трубки. Всякий раз, когда ракета исчезает с экрана и вновь появляется с другой стороны, это соответствует пересечению ракетой склеенного стыка внутри трубки.
Вафа предполагает, что сестра нашей Вселенной имеет форму своего рода искривленного шестимерного тора. Вафа и его коллеги первыми выдвинули предположение, согласно которому сестру нашей Вселенной можно описать так называемым орбиобразием. По сути дела, предположение, что топология этой Вселенной-сестры — орбиобразие, вполне соответствует данным наблюдений[108].
Представить себе орбиобразие поможет перемещение на 360° по кругу. Ясно, что в результате такого движения мы вернемся в исходную точку. Другими словами, если мы протанцуем круг 360° в хороводе, то вернемся к тому же месту, с которого начали. Но если в орбиобразии мы проделаем путь менее 360°, то все равно вернемся в исходную точку. Это утверждение может показаться абсурдным, тем не менее сконструировать орбиобразие легко. Представьте себе флатландцев, живущих на конусе. Если они проделают путь менее 360° вокруг вершины конуса, то прибудут в исходную точку. Таким образом, орбиобразие — многомерное обобщение конуса (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Если мы соединим точки А и В, то получим конус — простейший пример орбиобразия. В теории струн наша четырехмерная Вселенная может иметь шестимерную пару с топологией орбиобразия. Однако шестимерная Вселенная так мала, что не поддается непосредственному наблюдению.
Для того чтобы прочувствовать орбиобразие, представьте себе флатландцев, живущих на Z-орбиобразии, с поверхностью как у четырехугольного кресла-мешка (такие можно увидеть на карнавалах и сельских ярмарках). Поначалу кажется, что они живут точно так же, как в Флатландии. Но, исследуя поверхность, флатландцы наверняка начнут замечать странные явления. К примеру, если кто-то из них долго идет в каком-либо направлении, то возвращается в исходную точку, словно описав круг. Кроме того, флатландцы заметили странности, связанные с некоторыми точками их Вселенной (четырьмя углами кресла-мешка). Обогнув любой из этих четырех углов на 180° (а не на 360°), они возвращались в то же место, с которого начали движение.
Орбиобразие Вафы примечательно тем, что всего при нескольких допущениях можно вывести многочисленные особенности кварков и других субатомных частиц. (Это происходит потому, что, как мы уже видели, геометрия пространства согласно теории Калуцы-Клейна вынуждает кварки принимать симметрию этого пространства.) Это придает нам уверенности, свидетельствует о том, что мы на верном пути. Если бы орбиобразие давало совершенно бессмысленные результаты, тогда интуиция подсказывала бы нам, что эта конструкция в корне ошибочна.
Если ни одно решение для теории струн не содержит Стандартную модель, тогда нам следует отвергнуть теорию суперструн, как очередную многообещающую, но неверную теорию. Однако физиков взбудоражила сама возможность получить решения, так заманчиво близкие к Стандартной модели.
Математики изучают свойства своеобразных поверхностей в высших измерениях 80 лет — с тех пор как французский математик Анри Пуанкаре в начале XX в. поднял вопрос топологии. Таким образом, десятимерная теория способна вобрать в себя немалую часть современной математики, которая прежде казалась практически бесполезной.
Почему три поколения?
Для объяснения, почему существуют три семейства частиц, используются, в частности, математические теоремы, накопленные математиками за прошедшее столетие. Как мы видели ранее, злополучная особенность теорий Великого объединения заключается в наличии трех идентичных семейств кварков и лептонов. Однако орбиобразие способно объяснить это сомнительное свойство теорий Великого объединения[109].
Вафа и его коллеги обнаружили для уравнений струн немало перспективных решений, которые выглядят соответствующими материальному миру. В сущности, при поразительно малом количестве допущений они могут заново вывести Стандартную модель — для теории это важный шаг. По сути дела, это и сильная, и слабая сторона теории суперструн. Вафа и его коллеги в каком-то смысле переусердствовали: нашли миллионы прочих возможных решений для струнных уравнений.
Основная проблема, с которой столкнулась теория суперструн, заключается в следующем: неизвестно, какая из миллионов возможных вселенных, которые можно математически образовать с помощью теории суперструн, окажется верной. Как сказал Дэвид Гросс, «существуют миллионы миллионов решений с тремя пространственными измерениями. Возможных классических решений невообразимое множество… Все это изобилие поначалу внушало радость, так как доказывало, что теория, подобно гетеротической струне, может выглядеть очень похожей на реальный мир. Помимо четырех пространственно-временных измерений эти решения обладают многими другими свойствами, характерными для нашего мира, надлежащими видами частиц, такими как кварки и лептоны, подходящими видами взаимодействий… Все они два года назад вызывали воодушевление»[110].
Гросс предупреждает: хотя некоторые из этих решений очень близки к Стандартной модели, другие дают нежелательные физические свойства: «Несколько смущает то, что при обилии возможных решений у нас нет надежного способа делать выбор среди них. Вдобавок к многочисленным желательным свойствам эти решения имеют несколько потенциально катастрофических свойств»[111]. Непосвященный, услышав об этом впервые, наверняка озадачится и спросит: почему бы не произвести вычисления и не посмотреть, какое решение предпочтительно для струны? Поскольку теория струн четко определена, недоумение вызывает то, что физики не в состоянии вычислить ответ.
Проблема в том, что теория возмущений, один из главных инструментов в физике, в данном случае бесполезна. Теория возмущений (которая учитывает все более малые квантовые поправки) не в состоянии разложить десятимерную теорию на четыре и шесть измерений. Так что мы вынуждены пользоваться непертурбативными методами, печально известными своей сложностью в применении. По этой причине мы и не можем найти решение для теории струн. Как уже говорилось ранее, струнная теория поля, разработанная мной и Киккава и усовершенствованная Виттеном, в настоящее время несовместима с непертурбативными методами. Настолько умных не нашлось.
Однажды моим соседом был аспирант-историк. Помню, как-то раз он предостерег меня, сказав, что компьютерная революция в конце концов может лишить физиков работы: «Ведь компьютер может вычислить что угодно, верно?» С его точки зрения, это был лишь вопрос времени: математики заложат все вопросы физики в компьютер, и физики выстроятся в очередь на биржу труда.
Этим замечанием он огорошил меня, так как для физика компьютер — не что иное, как усовершенствованный арифмометр, безупречный и безмозглый. Недостаток интеллекта он возмещает скоростью. Надо заложить теорию в компьютер, прежде чем он сможет провести вычисления. Разрабатывать новые теории самостоятельно компьютер не в состоянии.
Мало того, даже если теория известна, компьютеру может потребоваться бесконечно долгое время для решения задачи. В сущности, вычисления, относящиеся к вопросам, которые представляют наибольшей интерес для физиков, занимают уйму компьютерного времени. В этом и заключается проблема с теорией струн. Хотя Вафа и его коллеги предложили миллионы возможных решений, понадобилось бы бесконечное количество времени, чтобы определить, какой из миллиона возможных вариантов верен, или же выполнить для квантовых задач вычисления, в которые входит замысловатый процесс туннелирования — один из квантовых феноменов, представляющих особую трудность при расчетах.
Туннелирование в пространстве и времени
В конечном счете мы задаемся тем же вопросом, что и Калуца в 1919 г., — куда девалось пятое измерение? — только на более высоком уровне. Как указывал Клейн в 1926 г., ответ на этот вопрос имеет отношение к квантовой теории. Туннелирование — возможно, самое поразительное (и сложное) явление в ней.
