Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находящейся под действием каких угодно сил, естественное движение отличается от всех остальных, совместных со связями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.
Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гельмгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи «скрытых движений» дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути. Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий, коренным образом геометризует классическую динамику.
Во введении к «Принципам механики» Герц характеризует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бесчисленным, действующим на расстоянии силам между атомами материи. Но в конце XIX в. под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии физика предпочитает рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую и считать своей конечной целью сведение явлений к законам превращения энергии»{188}. Тогда в механике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построена, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя»{189}.
По мнению Герца, при этом исходят из четырех независимых друг от друга основных понятий, отношения между которыми должны составить содержание механики. Два из них, по Герцу, носят математический характер — пространство и время; два других — масса и энергия — вводятся как две физические сущности, являющиеся определенными неуничтожаемыми количествами. Из анализа результатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же чтобы связать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принципов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практически безразлично; можно воспользоваться принципом Гамильтона, что мы имеем полное право сделать»{190}.
В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего она охватывает значительно больше особенностей движения, чем классическая, основанная на понятии силы.
Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматривает в том, что разность между кинетической и потенциальной энергией должна быть возможно малой на протяжении всего времени движения.
Хотя этот закон и не является простым по форме, все же он в одном-единственном определении однозначно воспроизводит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с не-голономными связями.
Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы. Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа{191} (1824—1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития механики. Вместо понятий силы и энергии, исключаемых Герцем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.
Основной закон, связывающий фундаментальные понятия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обычным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей»{192}.
Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утверждение.
Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В качестве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вводится скорость изменения направления при изменении положения. Из всех возможных путей в тех случаях, когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это прежде всего пути, которые во всех положениях искривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие. При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают: «Это соотношение, — говорит Герц, — будет нам вполне понятно, если мы вспомним теорию поверхностей… Перечисление и систематизация всех возникающих при этом соотношений относится к геометрии системы точек… Так как система n точек выражает 3n многообразие движения, которое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то в результате возникает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так далеко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там»{193}.
Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит прежде всего в том, что он устраняет искусственное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Кроме того, такой геометризованный метод выражения «ярко оттеняет тот факт, что метод изложения Гамильтона скрывает свои корни не в особых физических основах механики, как это обычно принимают, но что он, собственно говоря, является чисто геометрическим методом, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и который не находится с ней в более тесной связи, чем любое другое используемое механикой геометрическое познание»{194}. Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопоставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.
Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический и наоборот, причем геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины любого другого бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).
Кратчайший путь между двумя положениями есть геодезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любыми двумя достаточно близкими соседними его положениями, находящимися на конечном удалении друг от друга.
Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их дифференциалы должны удовлетворять уравнениям — условия системы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, чтобы его вторая вариация была существенно положительной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.
Уже из этого изложения можно видеть две особенности механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона) понятиями. Во-первых, отсутствие среди основных понятий понятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конкретных задач. Во-вторых, особо важная роль, отводящаяся геометрическим образам. Если первая особенность ограничивала практическое значение его механики, то вторая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.
Затем Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая связь его механики с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица. Теорема Герца гласит: если построить во всех положениях некоторой поверхности прямейшие пути (а следовательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.
