В этом рисунке мы были вынуждены увеличить в огромное число раз действительную длину световых волн и преувеличить взаимный наклон обоих зеркал. Таким образом, в нем не нужно искать точного изображения действительности, но только способ изобразить игру интерференции в волнах, пересекающихся под заметным углом.
С помощью очень простых геометрических рассуждений легко видеть, что ширина полос обратно пропорциональна величине угла, который образуют между собой оба интерферирующих пучка, и что промежуток, заключенный между серединами двух последовательных темных или блестящих полос, равен длине волны, разделенной на синус угла, под которым пересекаются лучи. В самом деле, треугольник bni, образованный прямой линией bi и двумя дугами круга ni и nb, можно рассматривать вследствие малости этих дуг как прямолинейный и равнобедренный, синус же угла bni в виду его малости будет приблизительно равен ib/bn; значит, bn равно ib, разделенному на этот синус. Но стороны угла bni перпендикулярны к сторонам угла AbB, так как bn перпендикулярно к Ab и ni к Bb; значит, эти углы равны между собой, и один из них можно подставить вместо другого; таким образом, изобразив через i угол AbB, под которым пересекаются отраженные лучи, имеем:
значит, nn, которое в два раза больше, чем bn, будет равно 2ib / sin i. Но nn представляет собой расстояние между серединами двух последовательных темных полос и является, следовательно, тем, что мы назвали шириною полосы; так как по построению чертежа ib есть длина полуволны, то 2ib будет длиною целой волны; значит, ширина полосы действительно равна длине волны, разделенной на синус угла, который образуют между собой отраженные лучи и который в то же время будет углом, под которым виден промежуток АВ между двумя изображениями светящейся точки, если поместить глаз в b.
Можно найти другую формулу, равносильную этой, если заметить, что два треугольника bni и AbB подобны, что дает пропорцию:
bn: bi = Ab: АВ,
откуда следует
или
т. е. длина полосы равна длине волны, умноженной на расстояние изображений А и В от плоскости, в которой измеряют полосы, и разделенной на промежуток между этими двумя изображениями.
Достаточно посмотреть на рисунок, чтобы видеть, почему необходимо, чтобы оба зеркала были почти в одной и той же плоскости, когда желают получить полосы сколько-нибудь заметной толщины; именно в маленьком треугольнике bni сторона bi представляющая длину одной полуволны, составляет, например, для желтых лучей всего четверть одной тысячной миллиметра, и bn, измеряющая полуширину полосы, может стать заметной только в том случае, если bn очень мало наклонено к in, так как тогда их точка пересечения удаляется от ib; но наклон между bn и in как раз такой же, как между продолжением DP зеркала DE и зеркала DF, если при этом Db=Ds.
Если бы А и В, вместо того чтобы быть изображениями светящейся точки, представляли собой проекции двух очень тонких щелей, проделанных в экране RN, через которые проходили бы лучи, посылаемые освещающей точкой, помещенной за экраном на продолжении средней линии bDC, то два пройденных пути от этой точки до щелей А и В были бы равны между собой и было бы достаточно, чтобы получить разность хода путей, пройденных лучами, считать их, начиная от А и В. И мы видим, что вычисления, которые мы только что сделали для ширины полос, производимых двумя зеркалами, можно было бы приложить и для этого случая, если только каждая щель достаточно узка для того, чтобы ее можно было рассматривать как один-единственный центр волны по отношению к проходящим через нее под различными углам лучам. Таким образом, можно утверждать, что ширина полос, производимых двумя очень тонкими щелями, равняется длине волны, умноженной на промежуток между ними и разделенной на расстояние между экраном и нитью микрометра, которыми пользуются для измерения полос.
Эта формула приложима также к темным и блестящим полосам, которые наблюдают в тени узкого тела, если только эти полосы достаточно далеки от края тени (и если подставить при этом вместо промежутка, отделяющего обе щели, ширину тела); но если они очень близки к краю, то теория показывает и опыт доказывает, что эта формула более не соответствует явлению с достаточной степенью точности; вообще она не будет вполне точной ни для полос, на которые подразделяются узкие тени, ни для тех полос, которые образуются двумя щелями, но исключительно только для полос, получаемых с двумя зеркалами, представляющих собой наиболее простой случай интерференции слегка наклоненных друг к другу лучей. Чтобы точным образом вывести из теории положение темных и блестящих полос в двух остальных случаях, надо вычислить не только действие двух систем волн, но также и бесконечного числа других подобных групп, согласно принципу, который мы объясним при изложении общей теории дифракции.
33. Для того чтобы закончить объяснение условий, необходимых для получения полос, мне остается показать, почему в опытах с дифракцией мы вынуждены пользоваться одной светящейся точкой, а не светящим телом больших размеров. Вернемся к случаю внутренних полос в тени узкого тела; аналогичные рассуждения легко можно будет применить затем ко всем другим явлениям дифракции.
Середина центральной полосы, которая всегда образована совместным приходом лучей, вышедших в одно и то же время из светящейся точки, должна находиться на плоскости, проведенной через эту точку и через среднюю линию узкого тела, так как с той и с другой стороны этой плоскости все будет симметрично, и лучи, в ней соединяющиеся, проходят с каждой стороны одинаковые пути и должны, следовательно, прибывать в одно и то же время, если только им не пришлось пройти через различные среды, чего мы здесь не предполагаем. Если положение центральной полосы определено, то положение других определено также, но можно видеть, что если бы светящаяся точка немного меняла свое место, например, смещалась бы направо, то плоскость, о которой мы только что говорили, наклонилась бы налево и увлекла бы за собою все полосы, сопровождающие центральную полосу. Вместо того чтобы предполагать смещение освещающей точки, предположим, что она имеет весьма заметные размеры; в этом случае различные светящиеся точки, из которых она теперь будет составлена, произведут каждая группу полос, и положение этих групп будет тем более отличаться друг от друга, чем больше будут отдалены друг от друга светящиеся точки; если же они удалены достаточно, т. е. если светящая точка достаточно широка, произойдет то, что полосы различных групп, накладываясь друг на друга, взаимно сгладятся. Вот почему в опытах с интерференцией, в которых лучи пересекаются под заметными углами, как во всех опытах с дифракцией, необходимо пользоваться очень тонкой светящейся точкой для того, чтобы заметить результаты взаимодействия лучей; и эта точка должна быть тем у́же, чем больше угол, под которым лучи пересекаются.
Как бы мала ни была светящаяся точка, в действительности она всегда состоит из бесконечного числа волновых центров, и то, что было сказано до сих пор об освещающей точке, нужно относить к каждому из этих центров. Но до тех пор, пока они находятся по отношению к ширине полос на очень малом расстоянии друг от друга, ясно, что различные производимые ими группы полос, вместо того чтобы беспорядочно смешиваться, будут почти с точностью накладываться друг на друга и, далеко не сглаживаясь, будут взаимно усиливаться.
Если обе системы интерферирующих волн параллельны, то промежуток, который отделяет их соответствующие точки, должен оставаться одним и тем же на значительной части волновой поверхности, т. е. другими словами, полосы сделаются почти неопределенной ширины,[37] и следовательно, весьма значительное смещение волнового центра не принесет собой заметного изменения в степени согласованности или расхождения их колебаний. Вот почему в этом случае нет надобности пользоваться столь малым освещающим предметом для того, чтобы заметить результаты их взаимодействия.
34. Теперь должно стать понятным, почему светлые лучи, хотя и оказывают всегда друг на друга некоторое действие, обнаруживают это влияние все же так редко и в таких исключительных случаях; для того чтобы сделать взаимодействие заметным, необходимо: во-первых, чтобы интерферирующие лучи исходили из одного общего источника; во-вторых, чтобы они не отличались в своем ходе более чем на некоторое весьма ограниченное число волн, даже в том случае, когда пользуются самым упрощенным светом; в-третьих, чтобы они не пересекались под слишком большим углом, так как иначе полосы сделаются столь узкими, что их не обнаружить самой сильной лупой; в-четвертых, чтобы в том случае, когда эти лучи не параллельны и образуют между собой заметный угол, освещающий предмет имел бы очень маленькие размеры и чтобы он был тем тоньше, чем больше этот угол.
