бумаги k1 = k2 = 0, но для цилиндра одна из этих величин ненулевая. Главные кривизны являются внешними, потому что обитатели поверхности никогда не смогли бы вычислить их, производя вычисления только на поверхности. Они должны выйти за пределы поверхности и посмотреть, как она расположена в окружающем пространстве. Поскольку гауссова кривизна является произведением главных кривизн, k = k1k2, она также служит мерой внешней кривизны.
Однако величины площадей и углов — внутренние свойства поверхности, поскольку могут быть измерены живущими на ней существами. Для вычисления этих величин не нужно фиксировать положение поверхности в пространстве. Площадь и углы треугольника, нарисованного на листе бумаги, не изменятся, когда мы свернем его в цилиндр. Следовательно, поскольку гауссову кривизну можно определить в терминах этих величин, она фактически является мерой внутренней кривизны поверхности!
Именно Гаусс первым открыл, что произведение двух внешних главных кривизн дает меру внутренней кривизны поверхности. Он оценил красоту своего открытия, поэтому назвал его theorema egregium, или «замечательная теорема».
Поскольку гауссова кривизна — внутреннее свойство поверхности, для ее измерения не требуется, чтобы объект был жестко закреплен в пространстве. Однако это и не топологическая мера. Если бы лист бумаги был топологической поверхностью (сделанной из резины), то можно было бы как угодно изменить его кривизну и сильно исказить нарисованный на нем треугольник.
В 1827 году Гаусс доказал важную теорему, в которой развивалась связь между кривизной, площадью и угловым избытком192. Точно так же, как мы вычислили полную кривизну простой замкнутой кривой, Гаусс хотел вычислить полную кривизну области на поверхности. Для поверхности постоянной кривизны все просто. Если гауссова кривизна равна k, то полная кривизна области R равна k · A(R), где A(R) — площадь R. Если область является геодезическим треугольником △, то полная кривизна равна k · A(△) = [E(△)/A(△)]A(△) = E(△), угловому избытку треугольника.
Замечательная теорема Гаусса утверждает, что это верно и для геодезических треугольников на поверхностях непостоянной кривизны[13].
Локальная теорема Гаусса-Бонне
Полная кривизна геодезического треугольника на поверхности равна угловому избытку этого треугольника.
Иными словами, эта теорема говорит, что полная кривизна геодезического треугольника △ равна a + b + c — π, где a, b, c — внутренние углы △.
Вторым человеком, имя которого фигурирует в названии этой теоремы, является французский геометр Пьер Оссиан Бонне (1819–1892). В 1848 году Бонне обобщил теорему Гаусса, доказав ее вариант для областей, стороны которых не являются геодезическими; этот вариант мы здесь приводить не будем193. Таким образом, Гаусс мог вычислить полную кривизну любого геодезического треугольника, а Бонне — полную кривизну любой замкнутой области на поверхности.
Удивительно, что ни Гаусс, ни Бонне не задались, казалось бы, естественным вопросом: какова полная кривизна всей поверхности? Они даже не поинтересовались полной кривизной сферы. Полную кривизну поверхности можно вычислить без всякого труда, объединив локальную теорему Гаусса-Бонне с теоремой об угловом избытке (по техническим причинам необходимо потребовать, чтобы поверхности были ориентируемыми).
Разобьем поверхность на геодезические треугольники. По локальной теореме Гаусса-Бонне, полная кривизна каждого треугольника равна его угловому избытку. Поэтому полная кривизна поверхности S равна полному угловому избытку поверхности, который, как мы знаем, составляет 2πχ(S). Этот результат теперь называется глобальной теоремой Гаусса-Бонне[14].
Глобальная теорема Гаусса-Бонне
Полная кривизна ориентируемой поверхности равна 2πχ(S).
Грубо говоря, глобальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что, растягивая и сжимая поверхность, мы можем изменить ее локальную кривизну, но полная кривизна не изменится. Все новые области положительной кривизны будут компенсированы новыми областями отрицательной кривизны. Роль играет только топология поверхности.
Может показаться странным, что локальная кривизна бильярдного шара отличается от локальной кривизны Земли, ведь форма-то у них одинакова, а различны только размеры. Глобальная теорема Гаусса-Бонне разрешает эти сомнения. Хотя кривизна Земли гораздо меньше кривизны бильярдного шара, ее площадь гораздо больше. А полная кривизна того и другого одинакова. Прибавление большого числа маленьких величин — то же самое, что прибавление одной большой.
Объединив теорему Гаусса-Бонне с теоремой классификации (глава 17) для ориентируемых поверхностей, мы придем к интересным выводам. Например, сфера — единственная замкнутая поверхность с положительной эйлеровой характеристикой. Поэтому любая поверхность положительной полной кривизны должна быть гомеоморфна сфере. Аналогично, если полная кривизна замкнутой поверхности равна нулю, то она должна быть гомеоморфна тору. У любой другой замкнутой ориентируемой поверхности (рода g, где g > 1) полная кривизна должна быть отрицательна.
Хотя и Гаусс, и Бонне прошли мимо этого глобального варианта теоремы, Вильгельм Бляшке (1885–1962) решил назвать его в их честь в учебнике, который написал в 1921 году194. Именно в этой книге появилось доказательство глобальной теоремы, в котором используется локальная теорема. А первое доказательство глобальной теоремы Гаусса-Бонне датируется 1888 годом, когда Дик доказал ее совершенно другим способом195. И снова мы видим, как неожиданно иногда дают имена теоремам.
В этой и предыдущей главах мы видели красивые и неожиданные связи между топологией и геометрией. Мало того что эйлерова характеристика является топологическим инвариантом, она еще и служит соединительным звеном между двумя совсем разными дисциплинами. Это еще одна причина, по которой формула Эйлера является фундаментальным явлением в математике. В следующих двух главах мы увидим, как эйлерова характеристика обобщается на многомерные объекты.
Приложения к главе
188. Bell (1937), 254.
189. Euler (1760).
190. Обсуждение этой истории см. в Hayes (2006).
191. Quoted in Simmons (1992), 177.
192. Gauss (1828); английский перевод и комментарии в Dombrowski (1979).
193. Bonnet (1848).
194. Blaschke (1921).
195. Dyck (1888).
Глава 22
Путешествие в n измерениях
Лиза: Где мой папа?
Профессор Фринк: Даже самому недалекому человеку, имеющему научную степень по гиперболической топологии, должно быть очевидно, что Гомер Симпсон забрел в третье измерение… [рисует на доске]. Вот обыкновенный квадрат —
Шериф Виггам: Эй, притормози, яйцеголовый!
Профессор Фринк: — но допустим, что мы продолжили квадрат за пределы двух измерений нашей Вселенной вдоль гипотетической оси z [все затаили дыхание]. Тогда получится трехмерный объект, именуемый «кубом», или «фринкаэдром» в честь его первооткрывателя.
— Симпсоны, «Хэллоуинские эпизоды, VI»
До сих пор все наши топологические объекты были кривыми или поверхностями — локально одномерными или двумерными объектами, расположенными в 2-, 3- или 4-мерном пространстве. Поверхности опологическим обобщением многогранника, а формула Эйлера для многогранников была элегантно обобщена на эйлерову характеристику поверхностей. Теперь естественно спросить, что можно сказать о многомерных топологических фигурах. Что это такое и существует ли
