Доказательство этой теоремы, конечно, несопоставимо с классификацией всех трехмерных многообразий, но стало бы важным первым шагом.
Знатные вызовы всем по вкусу, а уж гипотеза Пуанкаре — всем вызовам вызов. Она вошла в короткий список задач — вместе с теоремой о четырех красках, великой теоремой Ферма и гипотезой Римана, — получивших мистический статус. Как и остальные проблемы из этого списка, гипотеза Пуанкаре целиком захватывала тех, кто над ней работал. Несть числа молодым математикам, вступившим в эту схватку. Как писал один журналист, «математики говорят о гипотезе Пуанкаре, как Ахав толковал о Белом ките»218. Начиная с 1904 года многие заявляли, будто нашли доказательство. Но до недавнего времени все доказательства содержали дефекты — иногда тонкие ошибки, укрывшиеся в сотнях страниц глубокой математики.
В конце концов, гипотеза была обобщена на n-мерные многообразия — любое n-мерное многообразие, в достаточной степени похожее на n-мерную сферу, должно быть гомеоморфно Sn. Может показаться, что это обобщение до нелепости амбициозно. Как можно доказать его для n = 100, если мы даже для n = 3 не можем этого сделать? Если я лежа не могу выжать 80 килограммов, то с чего я вообразил, будто смогу поднять 225? Но, как ни странно это звучит, для больших n гипотеза проще! Часто бывает, что топология в пространствах малой размерности сложнее, чем в случае большой размерности. Грубо говоря, чем больше измерений, тем больше свободы двигать предметы, избегая столкновений.
Горячий молодой тополог Стивен Смейл (родился в 1930 г.) из Калифорнийского университета в Беркли дал первое доказательство обобщенной гипотезы Пуанкаре. В 1960 году он подтвердил гипотезу для важного класса гладких многообразий размерности n ≥ 5219.
Смейл — колоритная личность. Он открыто выступал против войны во Вьетнаме и является страстным поборником свободы слова. Его протесты, в т. ч. критика американской внешней политики во время посещения Москвы, стали причиной судебного иска со стороны Комиссии по расследованию антиамериканской деятельности. Позже он оказался в затруднительном положении во время шестимесячного пребывания в Бразилии, оплаченного Национальным научным фондом. Советник президента Джонсона по науке писал: «Эта беспечность заставляет математиков всерьез считать, что обычный налогоплательщик должен верить, будто за создание математики на пляжах Рио-де-Жанейро следует платить из общественных фондов»220.
Поводом для этого высказывания послужили ставшие знаменитыми слова Смейла: «Самая лучшая моя работа была проделана на пляжах Рио-де-Жанейро»221. Находясь в Бразилии, Смейл не только доказал многомерную гипотезу Пуанкаре, но и открыл подкову Смейла, пример хаотической динамической системы.
Не прошло и двух лет, как результат Смейла для n ≥ 5 был обобщен на многообразия без предположения гладкости222. Казалось, что победа не за горами. Но тут прогресс застопорился. Случай n = 4 пал только в 1982 году — его доказал тридцатитрехлетний Майкл Фридман из Калифорнийского университета в Сан-Диего223. Затем снова наступила пауза. Каждая новая размерность давалась труднее предыдущих. Оригинальная гипотеза для размерности 3 оставалась неприступной. Появлялись и исчезали все новые неправильные доказательства. Казалось, проблема неразрешима.
В 1998 году Смейл опубликовал список из восемнадцати самых важных нерешенных математических задач224 (Давид Гильберт сделал то же самое веком раньше). Классическая гипотеза Пуанкаре в этот список вошла.
В тот же год Институт математики Клэя объявил о награде в 1 миллион долларов за решение любой из семи самых трудных, на его взгляд, нерешенных задач в математике. Гипотеза Пуанкаре вошла и в этот элитный список. Для получения награды математик должен представить доказательство теоремы, которое выдержит придирчивую проверку математическим сообществом в течение двух лет после опубликования.
В 1982 году Билл Тёрстон анонсировал план полной классификации геометрии всех трехмерных многообразий. Он предположил, что любое трехмерное многообразие можно разрезать на области, каждое из которых будет обладать одной из восьми геометрических структур225. Это предположение получило название «гипотеза геометризации Тёрстона». С помощью этих восьми стандартных элементов можно было бы понять геометрию и топологию любого трехмерного многообразия. В частности, отсюда следовало бы, что единственным односвязным замкнутым трехмерным многообразием является трехмерная сфера. Это доказывало бы гипотезу Пуанкаре.
В том же году Ричард Гамильтон, математик из Корнеллского университета, приступил к реализации программы, которая, по его мнению, должна была доказать гипотезу геометризации Тёрстона226. Он хотел взять произвольное трехмерное многообразие и, надувая его, как воздушный шарик, непрерывно деформировать в форму, которая, как он надеялся, будет точно отвечать модели Тёрстона. На пути к этой цели он добился значительного прогресса. Большинство специалистов полагало, что его техника должна сработать, но ни Гамильтон, ни кто-либо еще не смогли избавиться или еще как-то решить проблему сингулярностей — участков многообразия, которые не только не становились лучше при надувании, но даже превращались в нечто худшее.
В 2002 году скромный российский математик Григорий Перельман (Гриша) (родился в 1966 г.) из Математического института им. Стеклова поразил математическое сообщество, опубликовав в интернете первую из трех коротких, но чрезвычайно насыщенных статей. В этих статьях общим объемом всего 68 страниц автор утверждал, что довел до конца исследовательскую программу Гамильтона, которой исполнилось уже двадцать лет227. В них показано, что некоторые сингулярности вообще никогда не возникают, а другие при должной аккуратности можно устранить. В совокупности статьи содержали доказательство гипотезы геометризации и, как следствие, классической гипотезы Пуанкаре.
Математическое сообщество было настроено скептически — такие заявления звучали и раньше, а в статьях было очень мало деталей, — но и с осторожным оптимизмом. Перельман был уважаемым математиком и следовал широко признанному плану Гамильтона.
В рассуждениях Перельмана многое осталось недосказанным. Даже лучшие специалисты по геометрии и топологии испытывали трудности при проверке правильности доказательства. Три независимые группы математиков под микроскопом изучили его аргументы, восполнив недостающие детали228. Средняя длина анализа составила свыше трехсот страниц. Никаких серьезных ошибок не было найдено.
К концу 2006 года сложилось общее мнение, что доказательство Перельмана правильно. В тот год журнал «Science» назвал доказательство Перельмана «прорывом года»229. Как Смейл и Фридман до него, сорокалетний Перельман был номинирован на филдсовскую премию за вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре (Тёрстон тоже получил филдсовскую премию за работу, которая косвенно привела к окончательному доказательству). Начался обратный отсчет времени в гонке за приз в миллион долларов (некоторые полагают, что награду вручат Перельману и Гамильтону вместе).
Возможно, покорена одна из высочайших математических вершин, подобная великой теореме Ферма, доказанной десятью годами ранее. Флаг водружен. Кто-то, возможно, посчитает, что это достижение звучит как похоронный звон по целой отрасли математики. Разумеется, это не так. С этой вершины математикам открывается ошеломляющее зрелище еще неизведанных пиков, ждущих своих покорителей. Как
