Рис. 196. Урна с шарами (пояснения в тексте)
Точно так же, если на игральной кости какое-то число будет выпадать чаще или реже, чем в одной шестой случаев, мы можем быть уверенными, что кость бракованная. Если все возможные события имеют одинаковые вероятности, их называют равновероятными. Если число таких событий равно N, то вероятность каждого из них равна 1/N.
Однако далеко не всегда мы имеем дело с равновероятными событиями, можно даже сказать, что чаще бывает наоборот. Рассмотрим простой пример. У нас есть ящик (в теории вероятности он называется урной), в котором находится 10 тщательно перемешанных шаров, из которых 5 белых, 3 чёрных и 2 красных (рис. 196). Вынем наугад один шар. Спрашивается, какова вероятность извлечь шар определённого цвета? Очевидно, что мы имеем 5 шансов из 10 вынуть белый шар, 3 – чёрный и 2 – красный, т. е. вероятности вынуть белый, чёрный и красный шар равны, соответственно, 0,5, 0,3 и 0,2. События, заключающиеся в извлечении белого, чёрного или красного шара, называют несовместимыми, так как невозможно, чтобы вынутый шар был одновременно белым и красным.
Теперь представим себе, что нас интересует вероятность того, что вынутый шар будет либо белым, либо красным. Поскольку в урне имеется 7 шаров, удовлетворяющих нашему требованию, то и вероятность такого события будет равна 0,7. Но 0,7 = 0,5 + 0,2. Отсюда следует вывод: вероятность того, что произойдёт какое-либо из несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий. Допустим, мы хотим узнать вероятность того, что брошенная кость покажет число очков, делящееся на 3. Этому условию соответствуют 3 и 6 очков. Так как вероятность выпадения каждого из них равна 1/6, то интересующая нас вероятность будет равна1/6+1/6=1/3
Теперь определим вероятность того, что интересующее нас событие не произойдёт. В примере с урной мы хотим знать вероятность того, что вынутый шар не будет красным. Очевидно, что здесь мы имеет дело с двумя несовместимыми событиями: шар будет либо красным, либо не красным. Вероятность первого события равна 0,2, а вероятность второго 0,5 + 0,3 = 0,8. Значит, с вероятностью 0,8 мы вынем из урны не красный шар. Обратим внимание на то, что сумма вероятностей всех возможных несовместимых событий равна 1. Это вполне очевидно, так как ясно, что какое-нибудь событие из всего набора возможных произойдёт наверняка. Этот факт достоверен, а потому его вероятность равна 1. Но вероятность того, что какое-нибудь из всех возможных событий произойдёт, равна сумме их вероятностей и, следовательно, эта сумма вероятностей равна 1. Отсюда следует, что вероятность того, что какое-то событие не наступит, равна 1 минус вероятность того, что оно наступит, потому что либо то, либо другое произойдёт наверняка: р(А) + р(неА) = 1.
Для того чтобы всё это лучше понять, решим простую задачу. Через остановку проходят автобусы трёх маршрутов. Известно, что по первому маршруту курсирует 15 автобусов, по второму – 20, а по третьему – 25. Вам нужен автобус второго маршрута. Какова вероятность того, что первый пришедший автобус вас не устроит?
Для того чтобы облегчить решение, прибегнем к аналогии с задачей о шарах в урне. Условия нашей задачи равносильны тем, когда в урне находится 15 белых шаров, 20 чёрных и 25 красных. Итого 60 шаров. Какова вероятность того, что первым будет вынут не чёрный шар? Вероятность вынуть белый шар (первый маршрут) равна р(Б1) = 15/60 = = 3/12. Вероятность вынуть чёрный шар (ваш второй маршрут) равна р(Ч2) = 20/ 60 = 4/12. Вероятность же вынуть красный шар (третий маршрут) равна р(К3) = 25/60 = 5/12. Если вероятность того, что первый маршрут окажется вашим, р(Ч2) = 4/12, то вероятность противоположного события, т. е. того, что вам не повезёт, должна быть равна 1 – 4/12 = = 8/12. Проверим. Если автобус оказался не вашим, значит, он принадлежит либо первому, либо третьему маршруту. Вероятность того, что придёт один из них р(Б1 или К3) равна р(Б1) + р(К3) = 3/12 + 5/12 = 8/12, что и совпадает с полученным нами результатом.
Проверьте свои знания
1. От чего зависит точность определения эмпирической вероятности благоприятного события?
2. Чему равна вероятность каждого из равновероятных событий, если общее число таких событий равно N?
3. Какие события называются несовместимыми? Какова вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух несовместимых событий, вероятности которых равны P и Q? Чему равна вероятность того, что событие с вероятностью Р не наступит?
Задания
1. Подберите эпиграф к данному параграфу.
2. В урне находится 4 белых, 6 чёрных и 2 красных шара. Определите вероятность того, что:
• вынутый шар будет чёрным;
• вынутый шар будет чёрным или зелёным;
• вынутый шар не будет зелёным.
3. Обсудите в классе, какова взаимосвязь между понятиями «вероятность» и «риск».
4. Вспомните примеры из истории или литературных произведений, где участник (герой), оценивая вероятность наступления определённых событий, принимает решение и оказывается в выигрыше.
§ 73 Условная вероятность и случайные процессы
Представим теперь, что нас интересует наступление двух различных событий. Предположим, что детская конноспортивная школа состоит из двух секций: выездки и конкура. Выездкой занимается 15 девушек и 5 юношей, а конкуром – 10 девушек и 20 юношей. Какова вероятность того, что первый встреченный нами в школе ученик будет заниматься конкуром? Условимся считать встречу с членом секции конкура благоприятным событием. Вообще же событием будем считать встречу с любым из занимающихся в этой спортивной школе учеников. Тогда общее число возможных событий равно 15 + 5 + 10 + 20 = 50. Число благоприятных событий равно 30. Следовательно, интересующая нас вероятность равна 30/50 = 0,6. Теперь предположим, что, зайдя в школу, мы встретили девушку. Какова вероятность того, что она занимается конкуром? Очевидно, что вероятность равна отношению числа девушек, занимающихся конкуром, к общему числу девушек в школе, т. е. 10/25 = 0,4. Мы видим, что эта вероятность меньше предыдущей. Откуда взялась эта разница? В первом случае мы знали только число учеников, занимающихся конкуром или выездкой. Теперь у нас появились дополнительные сведения: оказалось, что встреченный ученик, вернее ученица, женского пола. Таким образом, величина 0,4 означает вероятность того, что первый встреченный нами человек занимается конкуром при условии, что он женского пола. Такую вероятность называют условной, и она может отличаться от ранее вычисленной вероятности. Таким способом можно вычислить и другие вероятности, выбирая различные условия. Какова безусловная вероятность встретить в конноспортивной школе юношу? Очевидно, 0,5, так как ровно половину из всех учеников составляют юноши. А какова вероятность встретить юношу при условии, что он занимается в секции выездки? Поскольку из 25 юношей, занимающихся в конноспортивной школе, только 5 занимаются выездкой, то вероятность такого события равна 5/25 = 0,2.
Если вероятность события А не изменяется в зависимости от того, наступило событие В или нет, то события А и В называют независимыми. Например, вероятность того, что завтра будет дождь, никак не связана с тем, какую оценку вы получили по естествознанию. Если события А и В независимы, то вероятность того, что наступит и то и другое, равна произведению вероятностей этих событий. Например, мы хотим определить вероятность того, что завтра одновременно произойдут два приятных события, оба из которых являются случайными и независимыми: не состоится урок по естествознанию и в буфет привезут особенно вкусные пирожные. Мы знаем, что урок отменяют в среднем один раз из десяти, а пирожные завозят в среднем один раз в три дня. Выражение «в среднем» означает, что мы не знаем точно, в какой день не состоится урок или привезут пирожные. Мы знаем только, что 10 из 100 уроков обычно по той или иной причине отменяют, а в течение 30 учебных дней интересующие нас пирожные привозят 10 раз. Возможна, например, такая ситуация, когда подряд 3 урока не состоятся из-за болезни учителя, потом в течение месяца не будет отменён ни один, а затем 4 занятия подряд будет пропущено из-за карантина и т. д. Точно так же пирожные могут привозить 3 дня подряд, потом 10 дней не привезти ни разу, а затем снова 2 дня подряд, опять неделю ни разу и т. д. В этом случае и говорят, что отмена урока или доставка пирожных являются случайными событиями. Мы не знаем точно, наступит ли то или иное событие, но можем определить его вероятность. Мы знаем, что вероятность того, что завтра не будет естествознания, равна 1/10, а вероятность полакомиться пирожным – 1/3. Значит, вероятность того, что завтра повезёт сразу в двух событиях, равна 1/10 •1/3 = 1/30.
