Алгебру октонионов можно описывать в терминах замечательной диаграммы, известной как плоскость Фано. Она представляет собой конечную геометрию, составленную из семи точек, соединенных по три семью «прямыми» линиями, и имеет вид, показанный на рисунке.
Одну из прямых пришлось свернуть в окружность, чтобы изобразить ее на плоскости, но это не страшно. В этой геометрии любые две точки лежат на одной прямой, а любые две прямые пересекаются в некоторой точке. Параллельных прямых нет. Плоскость Фано была изобретена для совершенно иных целей, но оказалось, что она кодирует в себе правила умножения октонионов.
В октонионах имеется восемь единиц: обычное число 1 и еще семь, обозначаемые как e1, e2, e3, e4, e5, e6 и e7. Квадрат любой из этих семи равен −1. Диаграмма определяет их правила умножения. Пусть нам надо умножить e3 на e7. Ищем на диаграмме точки 3 и 7 и соединяющую их прямую линию. На ней имеется третья точка — в данном случае точка 1. Следуя по стрелкам, мы идем от 3 к 7 и далее к 1, так что e3e7 = e1. Если порядок обратный, то надо дополнительно взять знак минус: e7e3 = −e1. Если проделать это для всех возможных пар единиц, получится полная картина арифметики октонионов. (Со сложением и вычитанием все всегда просто, а деление следует из умножения.)
Плоскость Фано — геометрия с семью точками и семью прямыми.
Грейвс и Кэли не знали об этой связи с конечной геометрией, поэтому они выписывали таблицу умножения для октонионов. Как плоскость Фано помогает выразить эту таблицу, было открыто много позже.
На протяжении многих лет октонионы оставались диковинкой второго сорта. В отличие от кватернионов у них не было ни геометрической интерпретации, ни применений в науке. Даже внутри чистой математики из них, казалось, ничего не следует; неудивительно, что они впали в безвестность. Но все изменилось, когда выяснилось, что октонионы — источник наиболее причудливых алгебраических структур, известных в математике. Они дают объяснение, откуда на самом деле берутся пять Киллинговых исключительных групп Ли G2, F4, E6, E7 и E8. А группа E8 — самая большая из исключительных групп Ли — фигурирует дважды в качестве группы симметрии, на которой основана 10-мерная теория суперструн, обладающая необычайно приятными свойствами и рассматриваемая многими физиками как наилучший на данный момент кандидат на Теорию Всего.
Если мы соглашаемся с Дираком в том, что корни вселенной — в математике, то мы можем сказать, что вероятная Теория Всего существует постольку, поскольку существует E8, а E8 существует постольку, поскольку существуют октонионы. Что открывает перед нами занятную философскую возможность: структура, лежащая в основе нашей вселенной (про которую мы знаем, что она очень специальная), выделена своей связью с уникальным математическим объектом — октонионами.
Красота есть истина, а истина — красота. Пифагорейцам и платоникам понравилось бы такое свидетельство определяющей роли математических структур в картине нашего мира. Октонионы обладают зачаровывающей, сюрреалистической математической красотой, за которую Дирак ухватился бы в качестве причины, указывающей, почему 10-мерная теория струн должна быть истинной. Если же она, на нашу беду, окажется ложной, то будет, тем не менее, даже более интересной, чем что бы то ни было иное, которое окажется истинным. Правда, нам известен и тот факт, что прекрасные теории не обязательно истинны, и до тех пор, пока по поводу суперструн не будет вынесен вердикт, эта возможность должна оставаться только гипотезой.
Какова бы ни была их важность в физике, круг идей, связанных с октонионами, — чистое золото для математики.
Связь между октонионами и исключительными группами Ли представляет собой одно из целой серии странных соотношений между различными обобщениями кватернионов и передним краем современной физики. Я хочу достаточно глубоко рассмотреть некоторые из этих связей, чтобы вы смогли оценить, насколько они замечательны. И я собираюсь начать с некоторых из самых старых исключительных структур в математике — формул для сумм квадратов.
Одна такая формула естественно вытекает из комплексных чисел. Каждое комплексное число имеет «норму» — квадрат расстояния от числа до начала координат. По теореме Пифагора, норма числа x + iy равна x2 + y2. Правила умножения комплексных чисел, сформулированные Весселем, Арганом, Гауссом и Гамильтоном, говорят нам, что норма обладает очень приятным свойством. Если перемножить два комплексных числа, то нормы тоже перемножатся. На языке символов (x2 + y2)(u2 + v2) = (xv + yu)2 + (xu − yv)2. Сумма двух квадратов, умноженная на сумму двух квадратов, всегда является суммой двух квадратов. Этот факт был известен индийскому математику Брахмагупте около 650 года, а также Фибоначчи в 1200 году.
На начальном этапе математиков в теории чисел сильно занимали суммы двух квадратов, потому что с их помощью можно было различать два типа простых чисел. Легко доказать, что если нечетное число представляется в виде суммы двух квадратов, то оно должно иметь вид 4k + 1 для некоторого целого k. Остальные нечетные числа, имеющие вид 4k + 3, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Однако не верно, что каждое число вида 4k + 1 является суммой двух квадратов, даже если разрешить одному из квадратов равняться нулю. Первое такое исключение доставляет число 21.
Ферма сделал замечательное по красоте открытие: эти исключения не могут быть простыми числами. Он доказал, что, наоборот, каждое простое число вида 4k +1 является суммой двух квадратов. Из приведенной выше формулы для перемножения сумм двух квадратов тогда следует, что нечетное число является суммой двух квадратов, если и только если каждый простой множитель вида 4k + 3 входит в четной степени. Например, 45 = 32 + 62 является суммой двух квадратов. Его разложение на простые множители имеет вид 3×3×5, и простой множитель 3, имеющий вид 4k + 3 (при k = 0), возникает в степени два — т.е. в четной степени. Другой множитель, 5, возникает в нечетной степени, но это простое число имеет вид 4k + 1 (при k = 1), что не вызывает никаких проблем.
С другой стороны, исключение 21 есть 3×7, где оба простых имеют вид 4k + 3, причем каждое входит в степени 1 (т.е. в нечетной степени), и поэтому для 21 правило не работает. Для бесконечного числа других чисел оно не работает по той же причине.
Позднее Лагранж использовал аналогичные методы для доказательства того факта, что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов (здесь разрешаются нули). Его доказательство использует хитрую формулу, открытую Эйлером в 1750 году. Оно похоже на приведенное выше рассуждение, но только относится к суммам четырех квадратов. Сумма четырех квадратов, умноженная на сумму четырех квадратов, есть сумма четырех квадратов. Подобной формулы не может быть для суммы трех квадратов, потому что существуют пары чисел, которые оба являются суммой трех квадратов, но произведение которых такой суммой не является. Однако в 1818 году Деген нашел формулу произведения для суммы восьми квадратов. Ту же формулу открыл Грейвс, используя октонионы. Бедный Грейвс — сделанное им раньше всех открытие октонионов приписано другому; его формула для восьми квадратов оказалась неоригинальной.
Имеется также тривиальная формула произведения для суммы одного квадрата — т.е. просто для квадрата. Она имеет вид x2y2 = (xy)2. Эта формула является для вещественных чисел тем же, чем формула двух квадратов для комплексных: она показывает, что норма мультипликативна, т.е. норма произведения равна произведению норм. Здесь, как и выше, норма есть квадрат расстояния от числа до начала координат. Число, противоположное любому положительному числу, имеет ту же норму, что и это положительное.
А что насчет формулы для четырех квадратов? Она утверждает то же самое для кватернионов. Четырехмерный аналог теоремы Пифагора (да, есть такая штука!) говорит нам, что кватернион общего вида x + iу + jz + kw имеет норму x2 + y2 + z2 + w2, а это есть сумма четырех квадратов. Кватернионная норма также мультипликативна, и этим объясняется формула Лагранжа для четырех квадратов.
