Наш рассказ о симметрии показывает, как даже отрицательный ответ на хороший вопрос («возможно ли решить уравнение пятой степени?») может привести к глубокой и фундаментальной математике. Здесь имеет значение, почему ответ оказался отрицательным. Методы, которые это выясняют, можно использовать для решения множества других проблем — и среди них глубоких вопросов физики. Но наш рассказ также показывает, что здоровье математики зависит и от того, вдыхает ли она новую жизнь из физического мира.
Истинная сила математики лежит именно в этом замечательном слиянии человеческого чувства гармонии («красота») с физическим миром, причем оба действуют как критерий реальности («истина») и как неистощимый источник вдохновения. Нельзя решить выдвигаемые наукой задачи без новых математических идей. Однако сами по себе новые идеи, если довести их до предела, могут выродиться в бессмысленную игру. Требования науки удерживают развитие математики на той линии, где она плодотворна, а также часто подсказывают новые направления ее развития.
Если бы математика полностью зависела от внешних потребностей — была бы служанкой наук, — мы бы получали от нее то, чего и следует ожидать от служанки: она была бы угрюмой, ворчливой и медлительной. Если бы математика руководствовалась исключительно собственными интересами, мы бы получили испорченное, дурно воспитанное дитя — избалованное, эгоистичное и раздувшееся от собственной важности. Математика высшего разряда балансирует между двумя этими крайностями, сопоставляя свои собственные потребности с потребностями внешнего мира.
Отсюда и проистекает ее непостижимая эффективность. Уравновешенная личность учится на опыте и применяет полученное знание в новых обстоятельствах. Вдохновителем великих математических достижений служил реальный мир, но великая математика может выйти за пределы, установленные ее происхождением.
Неизвестный вавилонянин, открывший, как решать квадратное уравнение, и представить себе не мог, даже в самых невероятных мечтах, во что превратится его наследие три с лишним тысячи лет спустя. Никто не мог бы предположить, что вопросы о разрешимости уравнений приведут к одной из ключевых концепций в математике — концепции группы — или что группы окажутся языком, на котором описывается симметрия. Еще менее того можно было полагать, что симметрии откроют нам дверь к тайнам физического мира.
В физике польза от умения решать квадратные уравнения очень ограниченна. Пользы от умения решать уравнение пятой степени и того меньше — уже по той причине, что всякое решение по необходимости будет численным, а не аналитическим или же будет выражаться с помощью символов, специально для этой цели изобретенных и едва ли поэтому пригодных на что-либо, кроме как прикрывать проблему фиговым листком. Но понимание того, почему уравнения пятой степени не решаются, осознание ключевой роли симметрии и развитие сопутствующих идей настолько далеко, насколько возможно, — все это открыло целые области физического мира.
Процесс идет. Следствия из симметрии для физики, а на самом деле и для науки в целом, остаются в достаточной степени неисследованными. Многого мы еще не понимаем. Но что мы понимаем наверняка, так это тот факт, что группы симметрии — наш проводник через неисследованные земли, по крайней мере до тех пор, пока не появится некая более мощная концепция (уже, быть может, ожидающая своего часа в какой-нибудь безвестной диссертации).
В физике красота не дает автоматической гарантии истинности, но она ей способствует.
В математике красота должна быть истиной — поскольку все ложное уродливо.
Литература
John С. Baez, The octonions, Bulletin of the American Mathematical Society, volume 39 (2002), 145–205.
E.T. Bell, Men of Mathematics (2 volumes), Pelican, Harmondsworth, 1953.
R. Bourgne and J.-P. Azra, Écrits et Mémoires Mathématiques d'évariste Galois, Gauthier-Villars, Paris, 1962.
Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, New York, 1968.
W.K. Buhler, Gauss: A Biographical Study, Springer, Berlin, 1 981.
Jerome Cardan, The Book of My Life (translated by Jean Stoner), Dent, London, 1931.
Girolamo Cardano, The Great Art or the Rules of Algebra (translated T. Richard Witmer), MIT Press, Cambridge, MA, 1968.
A.J. Coleman, The greatest mathematical paper of all time, The Mathematical Intelligencer, volume 11 (1989), 29–38.
Julian Lowell Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs, Dover, New York, 1963.
C.W. Davies and J. Brown, Superstrings, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
Underwood Dudley, A Budget of Trisections, Springer, New York, 1987.
Alexandre Dumas, Mes Mémoires (volume 4), Gallimard, Paris, 1967.
Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements (translated by Sir Thomas L. Heath), Dover, New York, 1956 (3 volumes).
Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (translated by Arthur A. Clarke), Yale University Press, New Haven, 1966.
Ian Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers, Norton, New York, 1997.
George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock, Penguin, London, 2000.
Brian Greene, The Elegant Universe, Norton, New York, 1999.
Michio Kaku, Hyperspace, Oxford University Press, Oxford, 1994.
Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford, 1972.
Helge S. Kragh, Dirac — A Scientific Biography, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
Mario Livio, The Equation That Couldn't Be Solved, Simon & Schuster, New York, 2005.
J.-P. Luminet, Black Holes, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
Oystein Ore, Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary, University of Minnesota Press, Minneapolis, 1957.
Abraham Pais, Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert
Einstein, Oxford University Press, Oxford, 1982.
Roger Penrose, The Road to Reality, BCA, London, 2004.
Lisa Randall, Warped Passages, Allen Lane, London, 2005.
Michael I. Rosen, Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree, American Mathematical Monthly, volume 102 (1995), 495–505.
Tony Rothman, The short life of Evariste Galois, Scientific American (April 1982) 112–120. Collected in Tony Rothman, A Physicist on Madison Avenue, Princeton University Press, 1991.
H.F.W. Saggs, Everyday Life in Babylonia and Assyria, Putnam, New York, 1965.
Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity, Basic Books, New York, 2000.
Paul J. Steinhardt and Neil Turok, Why the cosmological constant is small and positive, Science, volume 312 (2006), 1180–1183.
Ian Stewart, Galois Theory (3rd edition), Chapman and Hall/CRC Press, Boca Raton 2004.
Jean-Pierre Tignol, Galois's Theory of Algebraic Equations, Longman, London, 1980.
Edward Witten, Magic, mystery, and matrix, Notices of the American Mathematical Society, volume 45 (1998), 1124–1129.
Веб-сайты
А. Нulpke, Determining the Galois group of a rational polynomial:
http://www.math.colosate.edu/hulpke/talks/galoistalk.pdf
The MacTutor History of Mathematics archive:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html
A. Roth man, Genius and biographers: the fictionalization of Evariste Galois:
http://godel.ph.utexas.edu/tonyr/galois.htm
Примечания
1
Консул Ост-Индийской компании в Багдаде. (Примеч. перев.)
2
Государство Селевкидов существовало со времени вскоре после смерти Александра Великого (формально — с момента утверждения Селевка в Вавилоне в 312 г. до Р.Х.) и до присоединения остатков некогда обширных территорий Римом (династия окончательно отлучена от правления, даже номинального, в 63 г. до Р.Х., но государство пришло в упадок значительно раньше). Получить «пять веков» обычными арифметическими действиями не представляется возможным. Государство Селевкидов было частью эллинистического мира; в эллинистическое же время жили, в частности, Эвклид, Архимед и Аполлоний, влияние которых в любом эллинистическом государстве не могло не ощущаться. (Примеч. перев.)
3
Зависит, и весьма часто. В русском языке, например, качество гласного звука зависит от его расстояния от ударного слога. В английском же имеется довольно явное влияние букв в слове друг на друга — например, в создании дифтонгов и в механизме открытия слогов. В ирландском языке такая согласная, как «m», имеет «полностью различные значения» — звук «м» или звук «в» — в зависимости от положения в слове (так называемые сильные и слабые позиции). (Примеч. перев.)
4
Вавилонское значение вычисляется как 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,4142129…, а √2 = 1,4142135. Разница составляет около шести десятимиллионных. (Примеч. перев.)
5
Александрия выгодно использовала торговлю с Востоком, однако для сообщения с Красным морем надо было пересечь дельту Нила и далее двигаться по суше. (Примеч. перев.)
6
Действительно, Луна близка и хорошо видна. Ситуация приобретает несколько большую остроту в том, например, случае, когда астроном сумел сделать лишь небольшое число наблюдений над каким-либо телом и исходя из них хочет узнать характер его дальнейшего движения. (Примеч. перев.)
7
Нулевое деление линейки скользит по заданной кривой, при этом линейка все время проходит через выделенную точку вне кривой. Имеется вторая кривая, и при каждом положении линейки фиксируется то деление на ней, на котором ее пересекает эта вторая кривая. При том положении линейки, когда отмеренная таким образом длина оказывается равной некоторой заданной, по линейке проводится прямая. (Примеч. перев.)
