Эта идея была развита в работах Д.Е. Охоцимского и А.А. Космодемьянского.
Задача о максимальной горизонтальной дальности ракеты в среде без сопротивления и задача о подъеме ракеты на максимальную высоту при наличии сопротивления воздуха с учетом изменения плотности воздуха и его температуры с высотой решена в работе Д.Е. Охоцимского «К теории движения ракет» (1946) методом вычисления первой вариации. Особенностью этих двух вариационных задач является то, что искомые характеристики движения представляют собой функционалы, заданные неявно посредством дифференциальных уравнений движения и некоторых начальных условий, при этом нельзя получить явное выражение этих функционалов через функцию, выражающую зависимость изменения массы от времени и их первых вариаций при варьировании этой функции. Кроме того, экстремальное значение достигается на кривых, имеющих угловые точки. А.А. Космодемьянский в своем курсе «Лекции по механике тел переменной массы» упростил решение задачи о максимальной высоте подъема ракеты в неоднородной атмосфере, показав, что ее можно рассматривать как вариационную задачу с неголономными связями.
В непосредственной связи с работой Ф.А. Цандера «Перелеты на другие планеты» (1924) находится решение задачи о выведении искусственного спутника Земли на орбиту, которая стала предметом ряда исследований. Например, в работе Д.Е. Охоцимского и Т.М. Энеева «Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли» (1957) рассмотрен вопрос о том, как должно изменяться во времени направление тяги реактивных двигателей, чтобы было обеспечено выведение спутника на заданную орбиту с минимальным расходом топлива. При этом предполагается, что выведение спутника на орбиту осуществляется при помощи ракетного ускорителя, состоящего из одной или нескольких ступеней. Исследование проводилось в предположении, что отсутствуют аэродинамические силы и поле земного тяготения является плоскопараллельным.
Предметом работы И.Ф. Верещагина «К решению экстремальной задачи движения точки переменной массы» (1960) является достаточно общая экстремальная задача — определение оптимальной в том или ином смысле кривой выведения искусственного спутника Земли на орбиту: указан метод построения уравнений, дополнительных к уравнению Мещерского, и с помощью выведенных дифференциальных уравнений экстремалей находится оптимальный угол старта ракеты.
Развитие космической ракетной техники привело к выделению двух классов задач: о полете ракет с двигателями на химическом топливе, т. е. задач о полете с большой тягой (в этом случае на единицу тяги приходится малый вес), и о полете ракет с двигателями малой тяги. Двигатели малой тяги характеризует то, что на единицу тяги приходится большой вес, но этот недостаток компенсируется продолжительностью действия тяги при малом расходе массы (для электрореактивных двигателей) или даже нулевом (для «солнечного паруса»).
Вариационные проблемы для полета с двигателем малой тяги имеют свою специфику. Ф.А. Цандер в работе «Перелеты на другие планеты» первым показал принципиальную возможность межпланетного полета с двигателем малой тяги — солнечным парусом. Установка паруса на движущемся аппарате должна меняться при его движении. Задача об оптимальной программе для угла установки паруса при перелете с одной орбиты на другую решается Г.Л. Гродзовским, Ю.Н. Ивановым и В.В. Токаревым в работе «Механика космического полета с малой тягой» (1963) методом численного интегрирования. Ряд вариационных задач для движения с малой тягой решен Д.Е. Охоцимским. Общая постановка проблемы оптимизации в механике космического полета с малой тягой дана в его работе «Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли». Там же содержится обзор исследований в этой области.
Другие задачи, решенные в трудах советских механиков, по постановке и методам решения в значительной мере тоже относятся к теории регулирования или оптимального управления. В них рассмотрено движение тела переменной массы в гравитационном поле с постоянной и убывающей мощностью, исследован вопрос о влиянии случайных отклонений от оптимальной (в том или другом отношении) программы движения, об учете ограниченности мощности тяги и т. д.
Некоторые из этих задач потребовали разработки принципиально новой методики. Один из примеров, приобретающий все большее значение, — вопрос об оптимальном регулировании тяги летательного аппарата. Оптимальность означает экстремизацию того или иного функционала, выражающего либо дальность, либо время полета, либо затрату горючего и т. п. Оказалось, что решение часто надо искать не в классе гладких или кусочно-гладких функций, что соответствовало бы обычной постановке вопроса в вариационном исчислении, а в классе разрывных функций. Так, например, решается вопрос об оптимальном регулировании тяги для достижения максимальной дальности при горизонтальном полете самолета с реактивным двигателем. Абсолютный максимум дальности достигается, как было доказано, на так называемом пунктирном режиме: вылет из положения, для которого заданы масса и скорость самолета, происходит или с выключенными двигателями, или с максимальной тягой, а затем участки разгона последовательно сменяются участками полета с выключенными двигателями.
Для определения таких пунктирных режимов В.Ф. Кротов в 1961 г. в своих работах «Об оптимальном режиме горизонтального полета самолета» и «Простейший функционал на совокупности разрывных функций» разработал методику отыскания разрывных решений вариационных задач. Приближенное решение вариационных задач дано в работе А.А. Космодемьянского «Некоторые вариационные задачи теоретической ракетодинамики». Ряд существенных результатов по динамике движения самолета с реактивным двигателем, полученных Б.И. Рабиновичем, вошел в его монографию «Вариационные режимы полета крылатых летательных аппаратов» (1962).
За последние два десятилетия в связи с развитием ракетной техники, а особенно после 1957 г. — года запуска первого искусственного спутника Земли, — механика тела переменной массы значительно расширила свою тематику. Развиваются методы решения вариационных задач динамики ракет и самолетов в неклассической постановке. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко по этому вопросу издали ценную монографию «Математическая теория оптимальных процессов» (1962). Уже упомянутый В.Ф. Кротов, изучая достаточные условия сильного экстремума, разработал новые методы решения вариационных задач и в 1963 г. опубликовал интересную работу «Метод решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума».
Интересные результаты при решении новых задач ракетодинамики получены Д.Е. Охоцимским, Т.М. Энеевым, В.А. Егоровым и др. Больших успехов советские ученые добились в развитии теории и практики ракетного дела. Здесь прежде всего следует назвать имя выдающегося советского ученого С.П. Королева. С.П. Королев был главным конструктором ракетно-космических систем, на которых были осуществлены запуски искусственных спутников Земли, доставлен советский вымпел на Луну, совершен облет и фотографирование обратной стороны Луны, невидимой с Земли. Под его руководством были созданы корабли-спутники, на которых была отработана аппаратура для полета человека в космос и возвращение космического аппарата на Землю, а также пилотируемые космические корабли «Восток» и «Восход», на которых человек впервые в истории совершил полет в космос и осуществил выход в космическое пространство.
Оценивая роль С.П. Королева в зарождении и становлении советской ракетной техники, президент Академии наук СССР академик М.В. Келдыш сказал, что с именем С.П. Королева «навсегда будет связано одно из величайших завоеваний науки и техники всех времен — открытие эры освоения человечеством космического пространства», что академик Королев «принадлежит к числу тех замечательных ученых нашей страны, которые внесли неоценимый вклад в развитие мировой науки и культуры».
Большой вклад в развитие отечественной космонавтики внес М.В. Келдыш. Начиная с 1947 г. он принимал активное участие в исследованиях по теории движения ракет и космических кораблей. Под его руководством велись работы по изучению динамики полета межконтинентальных баллистических ракет. М.В. Келдышу принадлежит постановка задач о влиянии на эволюцию орбит гравитационного поля геоида и точного численного определения траекторий первых искусственных спутников Земли и «лунников». С именем М.В. Келдыша неразрывно связаны блестящие достижения советской космической науки и техники. В их числе полеты автоматических станций к Луне и вокруг Луны, спутники Луны, полеты к планетам Солнечной системы, первый космический полет человека pi дальнейшие полеты пилотируемых кораблей, полет и возвращение с лунным грунтом станции «Луна-16», полет аппарата «Луна-17», доставившего на поверхность Луны первую автоматическую станцию «Луноход-1».
