П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом , Ритца и Галёркина методами , Чаплыгина методом . Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у ), удовлетворяющее начальным условиям у (х0 ) = y0 , причём известно, что f (x, у ) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0 , y0 ). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
y (x ) - y (x0 ) = .
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам:
A1 = y’0 = f (x0 , y0 );
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода . Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0 .
Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом . Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре .
К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения
y’ ’ = f (x, у )
с начальным условием у (х0 ) = y0 . Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х — х0 Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.
Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х ) в точках x1 , x2 ,..., xn некоторого фиксированного отрезка [х0 , b ] Так, для того чтобы вычислить у (х1 ), где х1 = х0 + h, h = (b — x0 )/n, представляют у (х1 ) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х1 — х0 . Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk ) формулы:
,
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk, xk+1 ] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2 .
В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у ) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:
,
где
;
;
;
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5 .
В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi ), hi и разностей Di hj , где
hj = hf (xj , yj ); Dhj = hj+1 - hj ;
Di hj = Di-1 hj+1 - Di-1 hj .
Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:
даёт решение у (х ) в точке xk с точностью до величин порядка h4 .
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения
формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у ). По этой формуле находят D2 yn-1 , а затем yn+1 = yn +Dyn+ 1 + D2 yn-1 . Найдя yn+1 , вычисляют y’’n+1 = f (xn+1 , yn+1 ), находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления ).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.
Приближённые вычисления
Приближённые вычисле'ния, вычисления, в которых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть численными методами .
Приближённые формулы
Приближённые фо'рмулы, математические формулы, получаемые из формул вида f (x ) = f* (x ) + e(х ), где e(х ) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f (x ) » f* (x ).
Например, П. ф. (1 + х )2 » 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + х )2 при малых |x |; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если |x | соответственно не больше 0,0707..., 0,0223..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем х ближе к 0. Но так бывает не всегда. Например, точность П. ф. tg тем больше, чем х ближе к p/2.
