Вот оно есть, а вот его нет!
Совершенное Кантором открытие всех этих уровней бесконечности привело к появлению вполне реального примера задачи, которая не могла быть решена в рамках существующих аксиом математики – утверждения без доказательства, непроверяемого, лежащего за пределами того, что мы можем знать. Этот вопрос касался самой сути того, что мы называем числом, и показал, насколько числа на самом деле непросты.
Кантор хотел узнать, существуют ли множества чисел, обладающие большим размером, чем множество целых чисел, но все же достаточно малые для того, чтобы невозможно было установить их попарное соответствие со всеми бесконечными десятичными дробями. Другими словами, существует ли племя, члены которого помечены числами так, что оно превосходит племя целых чисел, но проигрывает племени бесконечных десятичных чисел? Бесконечность всех бесконечных десятичных чисел называют континуумом. Гипотеза о континууме утверждает, что не существует бесконечности, меньшей континуума, но большей бесконечности всех целых чисел.
Гильберт был настолько поражен гипотезой о континууме, что поместил проблему определения существования промежуточной бесконечности во главу своего списка из 23 задач, которые предстояло решить математикам XX в.
Кантор мучился этим вопросом всю свою жизнь. В какой-то момент он был убежден, что нашел доказательство того, что никакой бесконечности между этими двумя не существует. Но затем он нашел в нем ошибку. На следующий день он решил, что доказал обратное: промежуточная бесконечность существует. Как всегда верил сам Кантор, «в математике умение задавать вопросы ценнее, чем умение решать задачи».
Так оно и оказалось. Затруднения Кантора были связаны с тем, что оба ответа были правильными.
Решение этой задачи, полученное наконец в 1960-х гг., потрясло математическое сообщество до основания. Пол Коэн, логик из Стэнфорда, продемонстрировал, опираясь на работы Гёделя, что на основе аксиом, которые мы используем в нашей нынешней математике, невозможно доказать, существует ли множество чисел, размер которого находится строго между количеством целых чисел и количеством бесконечных десятичных дробей. Более того, он создал две разные модели чисел, которые удовлетворяли аксиомам математики: в одной из этих моделей ответ на вопрос Кантора был утвердительным, а в другой – отрицательным.
Не знаю, как Кантору понравился бы такой вывод. Он когда-то заявил: «Сущность математики заключается именно в ее свободе». Но не слишком ли большой оказалась эта свобода? Получилось, что существует не один, но несколько видов математики!
Некоторые считают этот момент аналогичным открытию существования множества разных видов геометрии в дополнение к евклидовой. В геометрии Евклида справедлив постулат о параллельных, в отличие от новых сферических и гиперболических геометрий. А теперь мы поняли, что существуют и разные модели чисел и некоторые из них содержат промежуточные бесконечности, а некоторые их не содержат.
И тем не менее математики испытали большое потрясение. Мы-то думали, что знаем числа. Пусть такие числа, как квадратный корень из двух или π, иррациональны и имеют бесконечное десятичное представление, но нам казалось, что эти числа можно увидеть, отметить на линейке. Так что в случае чисел, которые мы знаем, казалось бы, должен иметься и ответ на вопрос Кантора. Есть ли на этой линейке подмножество чисел, строго большее, чем множество целых чисел, но строго меньшее, чем множество всех бесконечных десятичных чисел? Большинство математиков считало, что ответ должен быть «да» или «нет», но не «и да и нет». Но, несмотря на это, было доказано, что доказать ни то ни другое невозможно. Коллега Коэна Джулия Робинсон писала ему: «Ради бога, ведь есть лишь одна истинная теория чисел! Это мое религиозное убеждение». Интересно, однако, что, прежде чем отправить письмо, она зачеркнула последнее предложение. Но Кантора такая неопределенность, вероятно, не затруднила бы, потому что его религиозным убеждениям не противоречило приятие того, что превосходит человеческое знание.
Сколь многие из еще неразрешенных задач, остающихся в наших книгах по математике, окажутся недоказуемыми? Чтобы справиться с некоторыми из этих великих нерешенных задач, нам могут понадобиться новые аксиомы, которые позволят им стать доказуемыми. Гёдель считал, что именно в этом может крыться причина трудности доказательства гипотезы Римана, величайшей из нерешенных задач математики. Он сомневался в достаточности имеющихся у нас аксиом для преодоления многих из проблем теории чисел:
Мы сталкиваемся с бесконечной последовательностью аксиом, которая может быть продолжена все дальше и дальше, и никакого конца ей не видно […] Правда, в нынешней математике высшие уровни этой иерархии практически никогда не используются […] вполне возможно, что это свойство современной математики как-то связано с ее неспособностью доказать некоторые фундаментальные теоремы, например такие как гипотеза Римана[129].
И да и нет
Теорема Гёделя о неполноте – это увлекательнейший микрокосм задачи доказательства истины. В отсутствие непротиворечивой аксиоматической системы в теории чисел неизбежно будут существовать истинные утверждения, истинность которых не может быть доказана. Интересно отметить, что, если работать вне системы, можно даже доказать, что некоторое утверждение истинно, но недоказуемо внутри этой системы. Можно сказать: почему бы тогда не перейти в бо́льшую систему? Но Гёдель гарантирует, что и в такой большей системе будут свои недоказуемые истинные утверждения, требующие выхода за пределы уже этой системы. Получается очень знакомая бесконечная регрессия.
Эта ситуация созвучна со многими из тех проблем, с которыми мы разбирались раньше. Может быть, понять Вселенную невозможно, пока мы остаемся внутри ее системы. Если Вселенная описывается квантовой волновой функцией, необходимо ли находиться вне системы, чтобы наблюдать ее? Из теории хаоса следует, что мы не можем понять часть системы как отдельную проблему, потому что электрон, находящийся на другом конце Вселенной, может оказать на хаотическую систему влияние, которое отправит ее в совершенно другом направлении. Чтобы рассмотреть всю систему, необходимо находиться вне ее. Та же проблема касается вопроса о понимании сознания. Мы заперты внутри собственной головы, своей собственной системы, и не имеем доступа к сознанию других. То же, по мнению некоторых, ограничивает и наши возможности постижения такой вещи, как существование Бога, трансцендентного относительно мира, в пределах которого мы заключены.
Другой важный аспект работы Гёделя состоит в том, что в пределах аксиоматической системы теории чисел невозможно доказать, что эта теория согласованна, что она не содержит противоречий. Это же может относиться и к вопросу о действенности методов, которые мы используем для получения знаний о Вселенной. Например, любая попытка объяснить, почему индукция – это правильный метод изучения физических явлений, будет основана на применении индукции. Получается настоящий замкнутый круг.
Однако не все следствия такой ограниченности возможностей математического метода столь мрачны и пессимистичны. Можно сказать, что она привела к открытию того удивительного факта, что существуют такие утверждения о свойствах чисел, которые можно либо считать истинными, либо считать ложными, причем оба эти предположения вытекают из закономерных моделей математики; то есть что существует множество разных видов математики. Можно ли сделать то же самое, когда мы встречаем действительно непознаваемый вопрос об устройстве Вселенной? Если мы найдем вопрос, ответ на который действительно невозможно узнать, было бы вполне логично исходить из гипотезы о том, что этот ответ может быть таким или другим. Выбор рабочей гипотезы отчасти зависит от вероятности одного или другого ответа. Но в некоторых случаях вероятности могут быть несущественны, и наш выбор попадает в зависимость от личных отношений с последствиями работы в рамках данной системы.
Математики свободны от такой необходимости выбора. Я как математик легко могу переходить от одной математической модели к другой, если каждая из этих моделей сама по себе внутренне непротиворечива, хотя они и противоречат друг другу. Например, я могу работать в предположении истинности или ложности гипотезы континуума. Если исходная модель непротиворечива, то непротиворечивы и обе математические модели. Если это необходимо для моей математики, я могу использовать гипотезу континуума для исследования этой конкретной математической вселенной. Можно ли поступить так же в отношении других случаев непознаваемого? Если Бог – это то, что не может быть познано, можно ли сделать выбор, который облечет это неизвестное плотью? Но не сделаем ли мы его таким образом познаваемым и не будет ли это противоречить исходному определению?
