Из каждого крана наполняется одна ванна — перемешивание не допускается. И как только одна ванна наполняется, она движется далее по конвейеру, уступая место следующей.
Теперь все становится понятным. За один час кран с горячей водой наполняет одну ванну, за это же время кран с холодной водой заполняет две ванны (так как на одну требуется полчаса). Это составляет три ванны в час или одну ванну каждые двадцать минут. Эврика!
Так почему же столько людей, в том числе и я, грубо ошибаются, отвечая «45 минут»? Почему так заманчиво разделить пополам сумму тридцати и шестидесяти минут? Я не уверен, но, кажется, из-за ошибочного понимания условия задачи. Может быть, задача с заполнением ванны в сознании наложилась на другие задачи, где нахождение разности имело бы смысл. Моя жена объяснила мне это с помощью аналогии: «Представь себе, что ты помогаешь пожилой даме перейти улицу. Без твоей помощи это займет у нее 60 секунд, ты бы перебежал дорогу за тридцать. Сколько времени вы будете ее переходить, если ты будешь держать даму под руку?» Теперь ясна логика людей, которые говорят о сорока пяти секундах, потому что, когда пожилая дама цепляется за ваш локоть, она замедляет ваше движение, а вы ускоряете ее.
Отличие от задачи с ванной здесь в том, что и вы, и пожилая дама воздействуете на скорость движения друг друга, чего не происходит с кранами. Они независимы. По-видимому, наше подсознание не распознает это различие, по крайней мере, когда мы жадно хватаемся за неправильный вывод.
Нет худа без добра. Даже неправильные ответы могут быть полезны — если вы осознаете, что они неправильные. Они разоблачают ошибочные аналогии и другие погрешности мышления и помогают облечь суть проблемы в более понятную форму.
Классические занимательные арифметические задачи специально сформулированы таким образом, чтобы так же ловко, как это делает фокусник, обмануть свою жертву, то есть вас. Само условие задачи содержит подвох. Если вы ответите инстинктивно, то, вероятно, попадетесь на эту удочку.
Вот пример такого типа задачи. Предположим, трое мужчин могут покрасить три забора за три часа. Сколько времени потребуется, чтобы один человек покрасил один забор?
Очень заманчиво ляпнуть: «Один час». Сама формулировка подталкивает вас к этому. Барабанный ритм первого предложения — трое мужчин, три забора, три часа — настраивает ваше внимание на определенную волну, поэтому когда в вопросе в таком же ритме повторяется: один человек, один забор, то ответу «один час» трудно сопротивляться. Эти параллельные конструкции психологически настраивают на ответ, который правилен лингвистически, но математически неверен.
Правильный ответ: три часа.
Если вы визуализируете задачу, мысленно представив троих мужчин, три забора и уже покрашенные через три часа заборы, то ответ становится очевидным. Чтобы через три часа покрасить все три забора, каждый человек должен красить свой забор в течение трех часов.
Отвлекаясь от рассуждений, скажу, что такие задачи считаются наиболее ценными среди текстовых задач. Они тренируют наше внимание, заставляя остановиться и посмотреть на задачу с совершенно неожиданной стороны.
Возможно, еще важнее то, что текстовые задачи учат нас думать не только о количестве, но и о соотношениях между числами, выражающими количества. Например, как скорость вытекания воды из кранов влияет на время, необходимое для заполнения ванны. И это следующий важный шаг в математическом образовании человека. Понятно, что для многих это сложно, так как соотношения — нечто более абстрактное, чем просто числа. Но они также представляют собой более мощный инструмент познания окружающего мира, поскольку отражают его внутреннюю логику. Причина и следствие, спрос и предложение, вход и выход, воздействие и отдача — все они связаны между собой парами чисел и соотношениями между ними. Текстовые задачи вырабатывают у нас образ мышления, который интенсивно использует различные соотношения.
Тем не менее Кит Девлин в своем эссе «Проблемы с текстовыми задачами» (The problem with word problems) высказывает о них интересные критические замечания. С его точки зрения, проблема в том, что при решении таких задач считается, что вы понимаете правила игры и соглашаетесь с ними, хотя часто они искусственные, а иногда и вообще нелепые. Например, в нашей задаче о трех мужчинах и трех заборах, которые они красят в течение трех часов, подразумевается, что, во-первых, все трое красят с одинаковой скоростью и, во-вторых, красят непрерывно, не снижая и не повышая темпа работы.
Оба допущения нереальны. Предполагается, что вы игнорируете все это, иначе задача оказалась бы слишком сложной и у вас не было бы достаточно данных для ее решения. Вы должны были бы точно знать, сколько раз каждый маляр замедлял работу и насколько он устал на третьем часу, как часто останавливался, чтобы перекусить, и т. п.
Преподаватели математики должны быть готовы к тому, что текстовые задачи заставляют нас делать упрощающие предположения. Этот ценный навык называется математическим моделированием. Ученые используют его всегда, когда применяют математику к явлениям реального мира. Но они, в отличие от авторов большинства текстовых задач, как правило, заранее сообщают о своих допущениях.
Итак, спасибо дядюшке Ирву за первый урок. Незабываемый? Да. Унизительный? Да, но — в хорошем смысле.
10. Игра с квадратами
Формула для вычисления корней квадратного уравнения — это Родни Дэнджерфилд[12] алгебры. И, будучи одной из формул всех времен и народов, она не заслужила никакого уважения. Даже профессионалы не особо ее жалуют. Когда математиков и физиков просят составить десятку самых красивых или важных уравнений36 всех времен, квадратное уравнение никогда не проходит отбор. Да, конечно, все восторгаются 1 + 1 = 2, E = mc2 и элегантной маленькой теоремой Пифагора, которая важничает просто потому, что она вот такая: a2 + b2 = c2. Но квадратное уравнение? Конечно же нет.
По общему признанию, формула для вычисления корней квадратного уравнения некрасива. Некоторые студенты начинают робко выяснять у нее результат, произнося как ритуальное заклинание: «х равен минус b плюс-минус квадратный корень из b квадрат минус четыре ac, деленное на два a». Другие сделаны из более прочного материала и смотрят формуле прямо в лицо, бесстрашно сопротивляясь пугающей смеси из букв и символов:
И только когда вы осознаете, на что способна эта формула, вы начинаете ценить ее внутреннюю красоту. Надеюсь, эта глава поможет вам совладать с кажущимся сумбуром символов, а также позволит понять, что означает уравнение и откуда оно берется.
Во многих ситуациях мы хотели бы выяснить значение некоего неизвестного числа. Какую дозу лучевой терапии следует применить, чтобы уменьшить опухоль щитовидной железы? Сколько денег вам придется платить ежемесячно, чтобы покрыть тридцатилетний ипотечный кредит в размере 200 тысяч долларов при фиксированной годовой процентной ставке, равной 5%? С какой скоростью должны лететь ракеты, чтобы преодолеть притяжение Земли?
В алгебре мы уже получили первый опыт решения простейших задач такого типа. Эти решения были разработаны исламскими математиками около 800 года нашей эры и основывались на более ранних исследованиях египетских, вавилонских, греческих и индийских ученых. Импульсом для их разработки послужили сложности при расчете размера наследства37 по канонам исламского права.
Например, предположим, что умирает вдовец и оставляет все свое имущество (10 дирхемов) дочери и двум сыновьям. Согласно законам ислама, сыновья должны получить равные доли, причем каждому сыну положена сумма вдвое большая, чем дочери. Сколько дирхемов причитается каждому из наследников?
Давайте используем букву х для обозначения суммы наследства дочери. Пока нам неизвестно значение х, мы можем рассуждать о нем как об обычном числе. В частности, мы знаем, что каждый сын получит в два раза больше, чем дочь, то есть по 2x. Таким образом, общее наследство равно x + 2x + 2x, всего 5x, и эта сумма должна равняться общей стоимости наследственного имущества в 10 дирхемов. Следовательно, 5x = 10 дирхемов. Наконец, разделив обе части уравнения на 5, мы видим, что х = 2 дирхема (это доля дочери). Поскольку каждый из сыновей наследует 2x, то им причитается по 4 дирхема.
Обратите внимание, что в этой задаче появилось два типа чисел: известные — 2, 5 и 10 и неизвестные, такие как х. Как только мы смогли вывести соотношение между ними (воплощенное в уравнении 5x = 10), сразу же получили возможность выделить неизвестное х, упростив уравнение путем деления его обеих частей на 5. Это немного напоминает, как скульптор обрабатывает кусок мрамора, пытаясь освободить статую из камня.
