Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана[8], хотя он сам неплохо считал устно.
Работая в Лос-Аламосе24, я убедился, что Ганс Бете[9] превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:
— Это будет равняться 2300.
Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:
— Если вам нужен точный ответ, то 2304.
Калькулятор тоже выдал 2304.
— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.
— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно 2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.
Трюк Бете основан на тождестве (50 + х)2 = 2500 + 100x + х2. Он запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 – 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50 + х.
Его площадь, равная (50 + х) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 × 50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50x; всего 100х), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади х в квадрате.
Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Еще одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому, кто вкладывает деньги в фондовый рынок25. Предположим, ваши акции катастрофически упали на 50% в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50%. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25%. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что при подсчете 50% потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50% прибыли — на 1,50. Если производить эти вычисления одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что составляет 0,75. Другими словами, 25% потерь.
На самом деле вам никогда не вернуться к первоначальной сумме, даже если вы несколько лет подряд будете иметь то потери, то прибыль на одинаковый процент. Алгебра поможет нам понять, почему так происходит. Это следует из тождества
(1 – х) (1 + х) = 1 – x2.
В одном году стоимость портфеля акций уменьшалась на коэффициент 1 – x (в примере x = 0,50), а в следующем году увеличивалась на коэффициент 1 + x. Таким образом, абсолютное изменение можно представить в виде выражения (1 – х)(1 + х), в соответствии с формулой, приведенной выше, оно равно 1 – x2.
Дело в том, что это выражение для любого х, отличного от 0, всегда меньше 1. Следовательно, вы никогда полностью не компенсируете своих потерь.
Само собой разумеется, что не все соотношения между переменными так же просты, как рассмотренные нами. Тем не менее привлекательность алгебры соблазнительна, а в наивных руках она создает такие глупости, как формулу для социально приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях26. На некоторых сайтах в интернете сказано: если ваш возраст х, то светское общество не одобрит вашу связь с партнером, если его возраст меньше чем х/2 + 7 лет.
Иными словами, если 82-летний мужчина встречается с 48-летней женщиной, даже если она не замужем, это достойно осуждения. А если ему только 81? Тогда ничего страшного!
8. В поиске своих корней
Более 2500 лет математики мучились над решениями уравнений относительно х. Путь поиска решений27, то есть нахождения корней этих уравнений, для все более и более сложных уравнений стал одним из великих эпосов в истории человеческой мысли.
Одна из первых подобных задач поставила в тупик граждан Делоса[10] примерно в 430 году до н. э. Отчаявшись предотвратить распространение чумы, они, по совету Дельфийского оракула, вознамерились увеличить объем кубического алтаря бога Аполлона в 2 раза. К сожалению, оказалось, что удвоение объема куба28 требует знания и умения извлекать кубический корень из 2. Посредством того ограниченного арсенала геометрических инструментов, который имелся в то время у греков (циркуль и линейка), решить эту задачу было невозможно.
Более поздние исследования подобных задач выявили еще одну неизбежно возникающую раздражающую мелочь: в процессе решения уравнений очень часто приходилось извлекать квадратные корни из отрицательных чисел29. Над этим еще довольно долго смеялись, как над чем-то ложным и софистическим.
Математики почти до 1700-х годов отрицали возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, поскольку те не могли быть положительными числами, так как положительное число, умноженное на положительное, всегда дает положительное. А мы ищем числа, квадраты которых отрицательные. Они не могли быть и отрицательными числами, так как отрицательное число, умноженное на отрицательное, опять же дает положительное. Казалось, не было никакой надежды на получение числа, которое при умножении на себя даст отрицательное число.
Здесь мы опять наблюдаем очередной кризис. Они неизменно возникают в математике в случае, когда уже существующие операции пытаются применять в числовых областях, где применить их уже нельзя. Так, вычитание больших чисел из меньших породило отрицательные числа (см. главу 3), а деление породило дроби (см. главу 5), необходимость извлекать квадратные корни в конечном итоге вынудила вновь расширить вселенную чисел.
Исторически так сложилось, что этот шаг был самым болезненным. Квадратный корень из –1 до сих пор носит унизительное название «мнимый».
Этот новый вид чисел (или, если вы предпочитаете быть агностиками, называйте их символами, а не числами) определяется таким свойством, что
i2 = –1.
То, что i нельзя найти на числовой оси, действительно правда. В этом отношении i гораздо более необычно, чем ноль, отрицательные числа, дроби и даже иррациональные числа, но, как ни странно, у всех мнимых чисел есть место на числовой оси. И при достаточном воображении наш ум может его отыскать и для i тоже. Оно «живет» на собственной мнимой оси, расположенной под прямым углом к основной. И, наложив мнимую ось на ось реальную числовую, вы создадите 2D-пространство, то есть двумерную плоскость, где обитают воображаемые числа.
Это комплексные числа. Но их комплексность означает не сложность, а то, что два типа чисел, действительных и мнимых, скреплены вместе и образуют сложное, гибридное число, например 2 + 3i.
Комплексные числа — это сверкающая вершина всей системы чисел. Они радуют теми же свойствами, что и реальные числа. Их можно складывать и вычитать, умножать и делить, но они лучше реальных чисел, потому что из них всегда можно извлечь корни. Вы можете извлечь из комплексного числа квадратный корень, корень третьей степени или вообще корень любой степени, а в результате все равно получится комплексное число.
И напоследок грандиозное утверждение, называемое основной теоремой алгебры. В нем говорится, что корни любого многочлена — всегда комплексные числа. В этом смысле они завершают поиски святого Грааля. Вселенная чисел больше не должна расширяться. Комплексные числа — кульминация путешествия, которое началось с единицы.
Вы можете оценить полезность комплексных чисел (то есть почувствовать их правдоподобие), если знаете, как их визуализировать. Ключом к визуализации станет понимание того, что такое умножение на i. Предположим, мы умножаем произвольное положительное число, скажем 3, на i. Результатом будет мнимое число 3i.
Таким образом, умножение на i представляет собой вращение против часовой стрелки на четверть оборота. До умножения на i число 3 обозначается стрелкой длиною 3, направленной на восток, результатом умножения на i будет стрелка такой же длины, но направленная на север.
Инженеры-электротехники любят комплексные числа именно по этой причине. Иметь такой компактный способ представления вращения на 90° при работе с переменным током, напряжением или электрическими и магнитными полями очень удобно, потому что они часто связаны с колебаниями или волнами, которые составляют четверть цикла (то есть представляют сдвиг фазы на 90°).
