Пример 11.9. Статистические функции
#include <numeric>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
template<int N, class T>
T nthPnwer(T x) {
T ret = x;
for (int i=1; i < N; ++i) {
ret *= x;
}
return ret;
}
template<class T, int N>
struct SumDiffNthPower {
SumDiffNthPower(T x) : mean_(x) {};
T operator()(T sum, T current) {
return sum + nthPower<N>(current - mean_);
}
T mean_;
};
template<class T, int N, class Iter_T>
T nthMoment(Iter_T first, Iter_T last, T mean) {
size_t cnt = distance(first, last);
return accumulate(first, last, T(), SumDiffNthPower<T, N>(mean)) / cnt;
}
template<class T, class Iter_T>
T computeVariance(Iter_T first, Iter_T last, T mean) {
return nthMoment<T, 2>(first, last, mean);
}
template<class T, class Iter_T>
T computeStdDev(Iter_T first, Iter_T last, T mean) {
return sqrt(computeVariance(first, last, mean));
}
template<class T, class Iter_T>
T computeSkew(Iter_T begin, Iter_T end, T mean) {
T m3 = nthMoment<T, 3>(begin, end, mean);
T m2 = nthMoment<T, 2>(begin, end, mean);
return m3 / (m2 * sqrt(m2));
}
template<class T, class Iter_T>
T computeKurtosisExcess(Iter_T begin, Iter_T end, T mean) {
T m4 = nthMoment<T, 4>(begin, end, mean);
T m2 = nthMoment<T, 2>(begin, end, mean);
return m4 / (m2 * m2) - 3;
}
template<class T, class Iter_T>
void computeStats(Iter_T first, Iter_T last, T& sum, T& mean,
T& var, T& std_dev, T& skew, T& kurt) {
size_t cnt = distance(first, last);
sum = accumulate(first, last, T());
mean = sum / cnt;
var = computeVariance(first, last, mean);
std_dev = sort(var);
skew = computeSkew(first, last, mean);
kurt = computeKurtosisExcess(first, last, mean);
}
int main() {
vector<int> v;
v.push_back(2);
v.push_back(4);
v.push_back(8);
v.push_back(10);
v.push_back(99);
v.push_back(1);
double sum, mean, var, dev, skew, kurt;
computeStats(v.begin(), v.end(), sum, mean, var, dev, skew, kurt);
cout << "count = " << v.size() << "n";
cout << "sum = " << sum << "n";
cout << "mean = " << mean << "n";
cout << "variance = " << var << "n";
cout << "standard deviation = " << dev << "n";
cout << "skew = " << skew << "n";
cout << "kurtosis excess = " << kurt << "n";
cout << endl;
}
Программа примера 11.9 выдает следующий результат
count = 6
sum = 124
mean = 20.6667
variance = 1237.22
standard deviation = 35.1742
skew = 1.75664
kurtosis excess = 1.14171
Обсуждение
Некоторые наиболее важные статистические функции (например, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс) определяются исходя из нормализованных выборочных моментов. Статистические функции определяются немного по-разному в различных текстах. Здесь мы используем несмещенные определения статистических функций, которые сведены в табл. 11.1.
Табл. 11.1. Определения статистических функций
Статистическая функция Формула n-й центральный момент (μn) ∑(xi-mean)n Дисперсия μ2 Стандартное отклонение √μ2 Коэффициент асимметрии μ2/μ33/2 Эксцесс (μ4/μ2²)-3
Момент характеризует последовательность чисел. Другими словами, он определяет некий способ математического описания последовательности чисел. Моменты являются основой для расчета нескольких важных статистических функций, например дисперсии, стандартного отклонения, коэффициента асимметрии и эксцесса. Центральный момент — это момент, рассчитанный относительно среднего значения, а не нуля. Выборочный момент — это момент, рассчитанный для дискретного набора числовых значений, а не для всех значений функции. Нормализованный момент — это момент, поделенный на некоторую степень стандартного отклонения (стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень второго момента).
Проще всего программировать статистические функции, определяя их через моменты. Поскольку используется несколько различных моментов, каждый из которых характеризуется целочисленной константой, я передаю эту константу как параметр шаблона. Это в целом позволяет компилятору генерировать более эффективный программный код, потому что это целочисленное значение известно на этапе компиляции.
Функция момента определяется при помощи математического оператора суммы. Во всех случаях, когда речь идет об этом операторе, следует иметь в виду функцию accumulate, определенную в заголовочном файле <numeric>. Существует две разновидности функции accumulate: одна подсчитывает сумму, используя operator+, а другая использует функтор суммирования, который вы должны предоставить. Ваш функтор суммирования будет принимать значение накопленной суммы и значение конкретного элемента последовательности.
Пример 11.10 иллюстрирует работу функции accumulate, показывая, как предоставленный пользователем функтор вызывается для каждого элемента последовательности.
Пример 11.10. Пример реализации функции accumulate
template<class Iter_T, class Value_T, class BinOp_T>
Iter_T accumulate(Iter_T begin, Iter_T end, Value_T value, BinOp_T op) {
while (begin != end) {
value = op(value, *begin++)
}
return value;
}
11.6. Генерация случайных чисел
Проблема
Требуется сгенерировать несколько случайных чисел в формате с плавающей точкой в интервале значений [0.0, 1.0) при равномерном их распределении.
Решение
Стандарт C++ предусматривает наличие C-функции библиотеки этапа исполнения rand, определенной в заголовочном файле <cstdlib>, которая возвращает случайное число в диапазоне от 0 до RAND_MAX включительно. Макропеременная RAND_MAX представляет собой максимальное значение, которое может быть возвращено функцией rand. Пример 11.11 демонстрирует применение функции rand для генерации случайных чисел с плавающей точкой.
Пример 11.11. Генерация случайных чисел функцией rand
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;
double doubleRand() {
return double(rand()) / (double(RAND_MAX) + 1.0);
}
int main() {
srand(static_cast<unsigned int>(clock()));
cout << "expect 5 numbers within the interval [0.0, 1.0)" << endl;
for (int i=0; i < 5; i++) {
cout << doubleRand() << "n";
}
cout << endl;
}
Программа примера 11.11 должна выдать результат, подобный следующему.
expect 5 numbers within the interval [0.0, 1.0)
0.010437
0.740997
0.34906
0.369293
0.544373
Обсуждение
Необходимо уточнить, что функции, генерирующие случайные числа (в том числе rand), возвращают псевдослучайные числа, а не реальные случайные числа, поэтому там, где я говорю «случайное число», я на самом деле имею в виду псевдослучайное число.
Перед применением функции rand вы должны «посеять» (т.е. инициализировать) генератор случайных чисел с помощью вызова функции srand. Это обеспечивает генерацию последующими вызовами rand разных последовательностей чисел при каждом новом исполнении программы. Проще всего инициализировать генератор случайных чисел путем передачи ему результата вызова функции clock из заголовочного файла <ctime>, имеющего тип unsigned int. Повторная инициализация генератора случайных чисел приводит к тому, что генерируемые числа становятся менее случайными.
Функция rand имеет много ограничений. Прежде всего, она генерирует только целые числа, и эти числа могут иметь только равномерное распределение. Более того, конкретный алгоритм генерации случайных чисел зависит от реализации, и поэтому последовательности случайных чисел нельзя воспроизвести при переходе от одной системы к другой при одинаковой инициализации. Это создает трудности для определенного типа приложений, а также при тестировании и отладке.
