Степени свободы термодинамические
Сте'пени свобо'ды термодинами'ческие, см. Термодинамические степени свободы .
Степени сравнения
Сте'пени сравне'ния, грамматическая категория, выражающая степень качества, характеризующего данный предмет или действие. Различаются положительная, сравнительная и превосходная степени (в некоторых языках имеется только две С. с. — положительная и элатив, совмещающий значения сравнительной и превосходной степеней). Сравнительная степень указывает на наличие у объекта какого-либо качества в большей степени, чем у другого, превосходная — больше, чем у всех прочих объектов. Положительная степень обозначает качество безотносительно к степени. С. с. имеются преимущественно у прилагательных и наречий («умный» — «умней» — «умнейший»; «умно» — «умнее»), но в некоторых языках также у существительных и глаголов, осмысляемых как означающие качество, например коми «кужöджык» — «более умеет» при «кужö» — «умеет». С. с. выражаются аффиксами («умней») или аналитически («более умный»).
«Степенная книга»
«Степе'нная кни'га», памятник русской исторической литературы. Была составлена по инициативе митрополита Макария духовником Ивана IV Васильевича Грозного Андреем (будущий митрополит Афанасий) между 1560 и 1563. «С. к.» была попыткой систематического изложения русской истории. Разделена на 17 граней или степеней и охватывает время от княжения Владимира Святославича «святого» до Ивана IV (включительно). В «С. к.» прославляется московская монархия и утверждается идея о божественном происхождении самодержавной власти. «С. к.» связывает происхождение царствующего рода с римским императором Августом, наследниками которого объявлялись киевские, а затем владимирские и московские князья. Второй комплекс идей «С. к.» посвящен союзу светской и духовной власти. Описания русских князей и правителей носят житийный характер (славословие их «святых подвигов» и «истинного благочестия»), в каждую грань включено и жизнеописание «святейших» из русских митрополитов. «С. к.» была в 16—17 вв. одним из наиболее популярных исторических произведений. Сюжеты её оказали большое воздействие на монументальную настенную живопись 16—17 вв. (роспись 1564—1565 московского Архангельского собора и др.).
Изд.: Полное собрание русских летописей, т. 21, ч. 1—2, СПБ. 1908—13.
В. Д. Назаров.
Степенная функция
Степенна'я фу'нкция, функция f (x ) = ха , где а — фиксированное число (см. Степень ). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa . Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то xa не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция xa равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х > 0 С. ф. — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (xa )' = axa-1 . Далее,
, при a ¹ -1;
в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.
Функции вида у = cxa , где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1 ), при а = —1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2 ). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cxa (см. рис. 3 ); например, у = cx2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).
В комплексной области С. ф. z a определяется для всех z ¹ 0 формулой:
, (*)
где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С. ф. z a однозначна:
.
Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. za принимает q различных значений:
где ek = — корни степени q из единицы: и k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С. ф. z a — бесконечнозначна: множитель ea2k pi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. za определяется той же формулой (*). Например,
так что, в частности, , где k = 0, ± 1, ± 2,....
Под главным значением (za )0 С. ф. понимается её значение при k = 0, если —p< argz £ p (или 0 £ argz < 2p). Так, (za )= |za |eia arg z , (i )0 =e - p/2 и т.д.
Рис. к ст. Степенная функция.
Рис. к ст. Степенная функция.
Степенной вычет
Степенно'й вы'чет, или вычет степени n по модулю m (n — целое число, большее единицы, m — целое число). Такое число а, для которого сравнение xn — а (modm ) разрешимо. В частности, при n = 2 С. в. называется квадратичным вычетом , при n = 3 — кубическим, при n = 4 — биквадратичным.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.
Степенной ряд
Степенно'й ряд, ряд вида a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + an zn +...,
где коэффициенты a 0 , a 1 , a2 ,..., an ,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z . Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z : |z | < R } с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R — радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример: ) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара
.
Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z | = R ) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры: , R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;
, R = 1,
ряд абсолютно сходится во всех точках окружности . В любой внешней точке круга сходимости (lz l > R ) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. является аналитической функцией ; производные любого порядка функции f (z ) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.
