Конечно, знали. Первый пример фрактала придумал классик математического анализа Вейерштрассе еще в прошлом веке. Так же, как к береговой линии острова Коха, к этой линии нельзя провести касательную ни в одной точке. Такие функции не имеют производной. Они вызывали у современников резкое чувство протеста. Блестящий математик Эрмит писал своему коллеге Стильтьесу:"... С омерзением и ужасом отворачиваюсь от этой зловредной язвы – непрерывных функций, нигде не имеющих производных".
И тут, наверное, рождается второе возражение:"Все это очень занятно. Но, конечно, фракталы не имеют никакого отношения к математическому моделированию реальных объектов и тем более к природе. Да и вообще математика не является естественной наукой. И ее роль не следует переоценивать". Это сильное возражение. Оно лежит в русле классической научной традиции. Следуя традиционным канонам, ценность такого математического "монстра" в познании реальности очень невелика. И хотя уже в начале нашего века французский физик Ж.Перрен высказал мысль о том, что фракталы будут полезны во многих физических задачах, в частности, связанных с броуновским движением, к фракталам относились как к забавной математической безделице.
Ситуация кардинально изменилась с появлением в 1977 г. книги Б.Мандельброта "Форма, случай и размерность". В ней, собственно, и было введено слово "фракталы" и показано, что существование фрактальных множеств позволяет объяснить, а в некоторых случаях и предсказать экспериментальные результаты, полученные в разных областях. Среди них – космология, теория турбулентности, химическая кинетика, физика полимеров, теория просачивания жидкости и еще десятки других. В последние годы к ним прибавились физиология, физика полупроводников, теория роста городов.
Более того, даже остров Коха имеет непосредственное отношение к реальности. Английские военные топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от длины линейки, которой ее измеряют. Аналогичная зависимость определяет длину некоторых рек, побережье многих островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и многое другое.
Еще пример. Оказалось, что при вытеснении жидкостью с малой вязкостью другой жидкости, с большой вязкостью, первоначально плоская поверхность раздела переходит в поверхность, напоминающую пальцы перчатки. Такие структуры получили название вязких пальцев. Последовательное дробление кончиков пальцев приводит к возникновению фрактальных кластеров. Анализ этого явления и способов борьбы с ним очень важен для приложений. Пальцы наблюдаются при закачке воды под давлением в нефтеносный пласт для повышения нефтеотдачи. Но из-за описанного эффекта вода просачивается значительно дальше, чем хотелось бы, и на поверхность выкачивается смесь, содержащая в основном воду.
Остров Коха показывает, что периметр фигуры может быть никак не связан с ее площадью. Точно так же можно построить тело с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности. А теперь вспомним школьную химию, в которой говорится, что большинство технологических процессов требует катализа, и что в большинстве случаев он происходит на поверхности катализатора. Теперь представим себе, что нам удается создавать частицы катализатора, в определенном интервале масштабов устроенные как фракталы с бесконечной площадью. Уже появились первые сообщения о работах экспериментаторов, двигающихся по этому пути.
Этот путь от парадоксального математического объекта к обнаружению новых явлений природы в самых разных областях становится все более традиционным для неклассической науки. Именно это позволило создать новый междисциплинарный подход – теорию самоорганизации, или синергетику. В ее основе, как догадался читатель, глубокая аналогия между математическими моделями, возникающими в различных областях. Еще недавно синергетику воспринимали как моду или игру ума. Однако умение давать глубокие ответы на простые вопросы, обнаружение ряда замечательных эффектов заставили воспринимать этот подход всерьез.
Синергетика – это нелинейная наука. Десятки международных журналов, посвященных нелинейной науке, большое количество конференций указывают на растущий интерес к этой области знания. Одним из основоположников нелинейной науки можно считать Анри Пуанкаре. На заре нашего века он высказал мысль, что в будущем удастся предсказать новые явления природы, исходя из самых общих представлений о математических моделях, описывающих изучаемые объекты. Можно сказать, что сегодня мы стали свидетелями того, как это пророчество сбывается.
И еще одно направление синергетики, которое нам кажется очень важным. Оно родилось еще из одного простого вопроса. Тех, кто впервые знакомится с информатикой, обычно поражает несоответствие между огромным количеством информации, которое содержится в цветном изображении, и скромным объемом, который может быть отведен под него в головном мозге. Вывод из этого несоответствия прост: информация в мозге обрабатывается и хранится совсем не так, как в компьютере. Вероятно, мозг выделяет что-то наиболее важное в каждом изображении, сцене, переживании, с чем и имеет дело в дальнейшем. При таком подходе главной проблемой становится научить вычислительную машину выделить необходимое и забыть ненужное.
Взгляните на рис.7. Чтобы "запомнить" стандартным способом эту картину, нарисованную на экране компьютера, нужно хранить более одного мегабайта информации. Однако если выделить "самоподобные" элементы в этом изображении с помощью методов фрактальной геометрии, достаточно одного килобайта. Причем, это число не зависит от размеров экрана. Оно останется тем же самым, если рисовать этот узор, а может быть дракона, с гораздо большим числом деталей. Здесь информацию удается сжать более чем в тысячу раз.
Рис. 7. Пример изображения, при хранении которого информация может быть сжата более чем в 1000 раз.
Хорошо было бы научиться сжимать информацию и для всех других изображений. Трудно переоценить важность этой проблемы. С сейсмических станций, спутников, метеостанций поступает гигантский объем информации. Широкое использование томограмм, энцефалограмм и кардиограмм, снимаемых в течение больших интервалов времени, сделали современные больницы крупными поставщиками данных. Одна из принципиальных задач синергетики – научиться эффективно хранить, перерабатывать, передавать и анализировать большие информационные потоки.
Среди придуманных мировСреди миров, в мерцании светил Одной звезды я повторяю имя ... Не потому, чтоб я ее любил, А потому, что я томлюсь с другими.
И.Анненский
Опять простой вопрос. Почему ученым вообще удается что-либо описать и понять? Почему простые модели и теории работают в нашем безумно сложном мире? Один из ответов, предлагаемых нелинейной наукой, таков: все дело в том, что происходит самоорганизация. Сложные системы имеют очень много степеней свободы. Однако все устроено так, что в процессе эволюции выделяется несколько главных, к которым подстраиваются все остальные. Эти главные степени свободы называют параметрами порядка. Когда этих параметров немного, есть шанс описать сложную систему просто. Вот два примера самоорганизации, показывающие, что это явление может быть очень полезным или, напротив, не очень полезным.
Организм обладает гигантским числом степеней свободы. Однако, чтобы поднести ложку ко рту, нам не надо думать о всех или управлять ими. При выработке навыков они подстраиваются к основным, за которыми и надо следить. Возникает иерархическая структура управления и взаимосвязей, которые физиологи называют синергиями (в переводе с греческого это означает совместное действие). Другой пример самоорганизации – это возникновение иерархии в стае волков или в колонии, на вершине которой стоят "паханы", определяя поведение "шестерок" и других членов иерархии.
Рис. 8. Формы структур, возможные в некоторой среде, в которой есть только процессы горения и теплопроводности. На рис.a показано, как они выглядят в пространстве (x, y, t). На рис.б представлен аналог географической карты, показывающей все структуры, которые могут возникать в такой среде. Жирные точки и сплошные линии соответствуют максимумам, кружочки и пунктир – минимумам. Крестиком помечена точка, к которой в процессе эволюции будет сходиться волна горения. Тонкая линия – контур структуры на уровне половины высоты.
Самые простые примеры самоорганизации, в которых удалось разобраться лучше, чем в остальных, дают некоторые системы из физики, химии, биологии. События в них развиваются не только во времени, но и в пространстве. Всех их роднит одна черта. Представим себе диффузию, порожденную случайным блужданием множества частиц, вообразим поразительно сложные траектории частиц жидкости или огромное множество химических реагентов, причудливо превращающихся друг в друга, или множество людей, пользующихся городским транспортом. Казалось бы, здесь все совершенно случайно, или, как говорят физики, имеет место хаос на микроуровне. И во всех этих случаях средние величины ведут себя вполне детерминированным образом. Хаос на микроуровне может приводить к упорядоченности на макроуровне. Но какой странной может быть эта упорядоченность! Реакция в пробирке может пойти по колебательному пути – раствор в пробирке может, например, начать периодически менять свой цвет. Транспортные потоки распределятся в соответствии с вполне определенными строгими законами. А если диффузия происходит в некоторой горящей среде, то могут возникнуть причудливые структуры. Например, такие, как показано на рис.8. На нем представлена пространственная форма волн горения растущей амплитуды, сходящихся к центру симметрии и сохраняющих свою конфигурацию. Может быть, они похожи на таинственные симметриады, вырастающие из океана на планете Солярис? Изучение этих и некоторых других структур, не простое дело. Оно требует разработки новых математических методов и широкого использования компьютеров, однако подчас оказывается очень поучительным.
