— не допускают вырезов в многограннике. Аналогично второе тело удовлетворяет критериям многогранника, принимаемым многими математиками. Но в нем есть сквозной туннель, т. е. оно имеет форму бублика, образованного плоскими гранями. Считать ли его многогранником? Третий объект состоит из двух многогранников, соединяющихся в вершине, а четвертый — из двух многогранников с общим ребром. Они удовлетворяют нашему критерию, но, согласно большинству определений, многогранниками не являются. У обоих тел есть две внутренние области — если заполнить их водой, то будет два несообщающихся сосуда. А можно привести еще более патологические примеры, идущие вразрез с интуитивным понятием многогранника.
Рис. 2.2. Тела, не являющиеся выпуклыми многогранниками
Пока что расслабимся и отложим хитроумную задачу строгого определения многогранника. Поскольку мы хотим описать историю формулы Эйлера, то можем ограничиться более узким классом многогранников, которые определить проще. Примем очень старомодный взгляд на многогранники, с которым согласились бы и греки, и Эйлер. Хотя явно это никогда не высказывалось, исторически считалось, что многогранник должен быть выпуклым. Выпуклым многогранником называется тело, удовлетворяющее нашему наивному определению (приведенному выше) и дополнительно обладающее тем свойством, что отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком расположен внутри него. Таким образом, у выпуклого многогранника не может быть вырезов. С первого взгляда видно, что все тела на рис. 2.1 выпуклые, а тела на рис. 2.2 не выпуклые.
Легко видеть, что это именно то, что подразумевали греки. Они считали грани многогранника основаниями, на которые можно его поставить. Каждый многогранник на рис. 2.1 может стоять на любой из своих граней, тогда как у любого многогранника на рис. 2.2 есть хотя бы одна грань, на которую его поставить нельзя. Позже, когда в нашем распоряжении будет больше инструментов, мы сможем применить формулу Эйлера к более широкому классу многогранников, а пока для простоты и по историческим причинам будем рассматривать только выпуклые многогранники.
Прежде чем двигаться дальше, остановимся еще на одном историческом споре: является многогранник сплошным или полым? Некоторые определения настаивают на том, что многогранник — это сплошной трехмерный объект, тогда как, согласно другим, это полое тело, состоящее из двумерной оболочки. Сторонники первого определения стали бы изготавливать многогранник из глины, а сторонники второго — из бумаги. На заре истории многогранников предполагалось, что они сплошные. На протяжении многих веков их так и называли — «сплошными телами». Позже, когда теория многогранников перешла в ведение топологии, их стали считать полыми. Нас, как правило, будет устраивать та и другая модель. Мы не станем делать на этот счет предположений, если не возникнет острой необходимости.
Приложения к главе
22. Hemingway (1932), 122.
23. Francese and Richeson (2007).
24. Poincare (1913), 434.
Глава 3
Пять идеальных тел
Всегда есть какое-то «до». Исходная точка — лишь уловка, и какую точку считать исходной, зависит от того, насколько она определяет последствия.
— Иэн Макьюэен, «Невыносимая любовь»25
Современная геометрия, как, впрочем, и значительная часть всей современной математики, корнями уходит в работы древних греков. В период от Фалеса (ок. 624–547 до н. э.) до смерти Аполлония (ок. 262–190 до н. э.) греки создали поразительный корпус математических работ, а имена многих ученых той поры знакомы любому школьнику: Пифагор, Платон, Евклид, Архимед, Зенон и т. д.
Хотя греки, возможно, испытывали влияние математиков из Египта, Месопотамии, Китая и Индии, скоро они освоили эту дисциплину, сделав ее своей. Как писал Платон в «Послезаконии»: «Когда греки что-то заимствуют у негреков, они доводят это до высшего совершенства»26. В отличие от более ранних цивилизаций, для которых главной целью была полезность, греки стремились понять суть математики и дать строгие доказательства утверждений. Ушли в прошлое формулы, применяемые для приближенных вычислений. Точность, логика и истина — вот в чем состояли цели их исследований.
Греки были в восторге от геометрии, и их достижения в этой области слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять. Не будет преувеличением сказать, что большая часть геометрии, изучаемой в школе, открыта греками. Но нас будет интересовать только греческая теорема о правильных многогранниках. Это одна из самых знаменитых и красивых теорем во всей математике (заняла четвертое место в опросе, упомянутом в главе 1).
Существует ровно пять правильных многогранников.
Эти пять многогранников показаны на рис. 3.1. В трех из них грани являются равносторонними треугольниками: тетраэдр (4-гранная пирамида), октаэдр (двойная пирамида с 8 гранями) и 20-гранный икосаэдр. Куб составлен из 6 квадратов, а додекаэдр — 12-гранник, состоящий из правильных шестиугольников. (В приложении A описано, как склеить правильные многогранники из бумаги.)
Рис. 3.1. Пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр
Красочная история этих интригующих многогранников начинается с греков, тянется через Возрождение и доходит до наших дней. Доказательство того, что существует всего пять правильных многогранников, приведено в последней книге «Начал» Евклида (в главе 8 мы представим еще одно доказательство с использованием формулы Эйлера для многогранников). Платон полагал, что правильные многогранники — составные части материи вообще. Поскольку он включил их в свою атомистическую теорию, они называются платоновыми телами. Астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал правильные тела в ранней модели Солнечной системы.
Красоту часто видят в регулярности, симметрии и совершенстве. Все мы знакомы с двумерными правильными многоугольниками. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы равны. Равносторонний треугольник — единственный правильный многоугольник с тремя сторонами, квадрат — единственный правильный многоугольник с четырьмя сторонами и т. д. (см. рис. 3.2). Существует бесконечно много правильных n-угольников, по одному для каждого n > 2.
Рис. 3.2. Правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 7 и 8 сторонами
Трехмерным аналогом многоугольника является многогранник. Изучение правильных многогранников дает гораздо более интересные результаты, чем изучение многоугольников. если правильных многоугольников бесконечно много, то единственными правильными многогранниками являются тела, изображенные на рис. 3.1.
А каковы точные критерии правильности многогранника? Как и в случае определения многогранника, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить лишнего и не опустить необходимое. Правильным многогранником, или правильным телом, называется многогранник, удовлетворяющий следующим условиям:
1) многогранник выпуклый;
2) каждая грань является правильным многоугольником;
3) все грани конгруэнтны (одинаковы);
4) в каждой вершине сходится одно и то же число граней.
Каждый из этих критериев необходим. На рис. 3.3 приведены примеры многогранников, не удовлетворяющих ровно одному критерию. Первый удовлетворяет всем условиям, кроме выпуклости. Второй,
