число можно выразить в виде отношения двух целых чисел (любое число можно записать в виде дроби). Если использовать современную терминологию, то пифагорейцы верили, что все числа
рациональные.
Музыка и астрономия тоже играли важную роль у пифагорейцев. Они открыли, что музыкальные интервалы можно выразить в виде отношений, и сделали вывод, что самые гармоничные звуки получаются из самых красивых комбинаций чисел. Они полагали, что музыкальными отношениями можно объяснить астрономические явления, например расстояния между планетами, порядок планет и периоды их обращения. А также что движение семи известных планет (в число которых включали Землю, Луну и Солнце), подобно колебаниям семи струн, создает гармонию. Некоторые говорили, что Пифагор слышал эту «музыку сфер».
Пифагорейцы вели общинный образ жизни: они вместе ели, выполняли физические упражнения и занимались науками. Такой образ жизни в сочетании с традицией устной передачи знаний, окружавшей их тайной и обожанием Пифагора не позволяет сказать, какой вклад в математику внесли конкретные пифагорейцы. Поскольку математика считалась частью их религии, а Пифагор был духовным лидером, все математические результаты, полученные его последователями, были «словом мастера» и приписывались ему.
По преданию, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), нарушил традицию анонимности, за что был сурово наказан. По одной легенде, его утопили в море, а по другой он был изгнан из братства пифагорейцев и ему был воздвигнут надгробный камень как символ отвержения. По поводу того, чем именно Гиппас заслужил столь суровую кару, тоже есть две легенды (возможно, обе истинны).
По одной легенде, Гиппас открыл додекаэдр и показал, как вписать его в сферу, но не упомянул при этом Пифагора. Это открытие, вероятно, имело особое значение для пифагорейцев, потому что гранями додекаэдра являются пятиугольники. Они выбрали пентаграмму, или пятиугольную звезду (рис. 4.2), которая у греков символизировала здоровье, в качестве особого символа, отличавшего членов братства. Пентаграмма строится путем соединения вершин правильного пятиугольника, при этом внутри него образуется меньший правильный пятиугольник.
По второй легенде, Гиппас доказал, что не всякое число рационально, но не сохранил это открытие в тайне. Историки расходятся в вопросе о том, какое именно иррациональное число открыл Гиппас. Это могло быть √2, т. е. длина диагонали квадрата со стороной единичной длины, или (√5 + 1)/2, которое часто называют золотым сечением, или просто обозначают буквой ϕ. Открытие Гиппасом иррациональности золотого сечения — заманчивая теория, потому что ϕ равно длине стороны пентаграммы, вписанной в пятиугольник со стороной единичной длины (рис. 4.3). Тот факт, что все числа рациональны, — один из столпов пифагорейской системы верований. Существование иррационального числа подрывало основы. Легко представить себе, сколь силен был гнев, обращенный против Гиппаса. По иронии судьбы, именно доказательство существования иррациональных чисел стало одним из самых значительных и долговечных вкладов пифагорейцев в математику.
Рис. 4.2. Пентаграмма, символ пифагорейской школы, вписанная в правильный пятиугольник
Рис. 4.3. Диагонали иррациональной длины, √2 и ϕ = (√5 + 1)/2
Вне зависимости от того, Гиппас ли открыл додекаэдр или кто-то из его собратьев, пифагорейцы, похоже, знали по меньшей мере о трех правильных телах: тетраэдре, кубе и додекаэдре. Не ясно, было ли им известно об октаэдре и икосаэдре, или честь открытия этих многогранников принадлежит Теэтету Афинскому (ок. 417–369 до н. э.). Даже ранние свидетельства противоречивы. Прокл (410–485), ученый, живший в V веке, утверждает, что пифагорейцы знали об октаэдре и икосаэдре, тогда как в недатированной схолии «Начал» Евклида мы читаем, что «три из упомянутых выше пяти тел, а именно куб, пирамида и додекаэдр, открыты пифагорейцами, а октаэдр и икосаэдр — Теэтетом»32. В наши дни многие ученые поддерживают теорию Уильяма Уотерхауса о более позднем открытии октаэдра, что, по всей видимости, исключает пифагорейцев из числа потенциальных авторов.
Теэтет не так широко известен, как другие греческие математики, но он, безусловно, является героем нашей истории. Почти наверняка он доказал, что существует пять и только пять правильных многогранников. Большая часть сведений о Теэтете известна нам из сочинений его друга, влиятельного философа и учителя, Платона (427–347 до н. э.). Платон написал два диалога с участием Теэтета: «Софист» и «Теэтет».
Рис. 4.4. Платон глазами художника
Теэтет родился во время Пелопонесских войн. Он геройски погиб в битве 369 года до н. э. между Афинами и Коринфом. Математику он изучал под руководством Феодора (465–398 до н. э.) и по любым меркам был весьма одаренным математиком. Платон ставит Теэтета на одну из высших ступеней, отдавая первенство лишь своему учителю Сократу (470–399 до н. э.). В диалоге «Теэтет» Феодор говорит о юном Теэтете: «Этот же подходит к учению и любому исследованию легко, плавно и верно, так спокойно, словно бесшумно вытекающее масло, — и я удивляюсь, как в таком возрасте можно этого достичь»33.
В то время открытие иррациональных чисел было еще довольно свежим событием, а об их свойствах было известно немногое. Теэтет внес важный вклад в классификацию и организацию иррациональных чисел. Позже эта классификация составит большую часть десятой книги «Начал» Евклида.
Несмотря на споры о том, кто был первооткрывателем пяти правильных тел, нет почти никаких сомнений в том, что именно Теэтет первым подверг их всестороннему и строгому изучению. Благодаря Теэтету были выполнены все три этапа разработки теории, которые мы обсуждали в главе 3. Во-первых, все пять тел были известны, и Теэтет смог построить их геометрически. Во-вторых, он осознал общую черту всех пяти тел — их правильность. И наконец, он доказал, что эти тела — единственные правильные многогранники. Доказательства и построения Теэтета приведены в XIII книге евклидовых «Начал». Вообще, многие историки полагают, что вся математика в книгах X и XIII «Начал» — результат работ Теэтета.
В наши дни Платон больше известен как философ и писатель, но одним из его важнейших вкладов в науку стало создание школы, Академии. Академия открылась в пригороде Афин приблизительно в 288 году до н. э. через десять лет после казни Сократа. ее целью стала подготовка молодых людей к общественной жизни путем изучения наук и в особенности математики. Платон верил, что, изучая математику, мы учимся отделять свой разум от чувств и пристрастий. Академия существовала свыше 900 лет. Ее основание было названо «в некоторых отношениях самым памятным событием в истории западноевропейской науки»34.
О математических достижениях Платона ничего неизвестно, но он сыграл важную роль в популяризации этого предмета. Он был влюблен в математику и ставил математиков очень высоко. Математика была основой учебного курса в
