3. Задумали некоторое двузначное число. Если в нем поменять местами первую и вторую цифры, а затем из результата вычесть 27, то получится задуманное число. Если же первую цифру задуманного числа умножить на 11/6 и вычесть из этого вторую цифру числа, умноженную на 14/15, то получится 1,7. Какое число было задумано?
4. Введите на клетчатой бумаге систему координат. Отметьте точки А(-2;7), B(1;-2), С(-4;-7), D(2;-5), E(3;-8), F(5;-4), G(14;-1), Н(8;2), K(11;8), L(6;3) и соедините их последовательно отрезками АВ, ВС, CD, DE, EF, FG, GH, НК, KL, LA. Найдите площадь полученной фигуры (площадь одной клетки считать равной 1 м2).
5. Свежие подосиновики содержат 93 % воды (по массе), а в сушеных подосиновиках массовая доля воды составляет 2/9. Какая масса сушеных подосиновиков получится из 20 кг свежих?
6. При каких значениях параметров а и b система уравнений
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений;
в) имеет ровно одно решение?
Найдите эти решения (для пунктов б) и в)).
7. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает продолжение стороны CD за точку С в точке F, а биссектриса угла В пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке Е. Известно, что LAFE = 30°, ВС = 7, EF = 12. Найдите длину отрезка BH, где Н — это точка пересечения двух данных биссектрис.
8. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить 286 м3 древесины. Первые шесть дней бригада выполняла установленную планом ежедневную норму, а затем каждый день заготавливала на 9 м3 больше плановой нормы. Поэтому за день до срока было заготовлено 296 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины в день бригада должна была заготавливать по плану?
9. В прямоугольный треугольник с периметром 36 вписана окружность. Гипотенуза точкой касания делится в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.
10. Требуется соорудить железнодорожную насыпь, имеющую 170 метров в длину, а в поперечном сечении — равнобокую трапецию с нижним основанием, равным 6 м, и углом откоса, равным 45°. Какую высоту h может иметь эта насыпь, чтобы объем земляных работ составил не менее 850 м3, но не более 1190 м3. (Объем насыпи равен произведению ее длины на площадь ее поперечного сечения.)
11. а) Изобразите на координатной плоскости фигуру М, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
б) Найдите площадь фигуры М.
12. Решите уравнение:
13. Дана окружность с центром в точке О радиуса 2.
Из конца отрезка ОР, пересекающегося с окружностью в точке К, проведена касательная РЕ к окружности (Е — точка касания), причем L ЕРО = 60°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков РЕ, РК и дуги КЕ.
14. Известно, что sinα + sin3α = 0,7. Найдите значение выражения cos6α — cos 2α + 2cos4α.
ФИЗИКА
1. В сосуде с горизонтальным дном и вертикальными стенками налита вода. Площадь основания внутренней части сосуда S = 25 см2. Металлический цилиндр с площадью основания S1 = 10 см2 установили торцом на дно сосуда. При этом уровень воды составляет h1 =10 см, а верхний торец цилиндра выступает из воды. Определите массу воды в сосуде.
2. Населенные пункты А и Б, расстояние между которыми L = 70 км, соединяет прямолинейный участок шоссе. Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу начинают движение автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля равна 80 км/ч. На рисунке представлен график, на котором показано, как изменилось расстояние между ними с момента выезда до момента встречи. Найдите скорость автобуса.
Через какое время после момента встречи с легковым автомобилем автобус доедет до пункта Б? Считать, что скорости автобуса и автомобиля оставались постоянными во время всего движения.
3. Три бегуна участвуют в забеге на 400 м, располагаясь на соседних дорожках. Спортсмен, стартовавший по первой дорожке, финишировал первым через 56 с, бегун на третьей дорожке отстал от победителя на 2 с. Определите скорость бегуна на второй дорожке, если известно, что в момент финиша победителя все три бегуна располагались на одной прямой. Скорости бега спортсменов считать постоянными на всей дистанции.
4. Пружина динамометра имеет в недеформированном состоянии длину l0 = 20 см. Под действием силы F = 1H она удлинилась на 1 %. Если к этому динамометру подвесить медный шар, то пружина удлинится на Δl = 5 мм.
Чему равен объем медного шара? Считать g = 9,8 Н/кг.
5. Сосуд с вертикальными стенками состоит из двух цилиндров: нижнего узкого высотой Н и площадью поперечного сечения S1 и верхнего широкого площадью поперечного сечения S2. При наливании в сосуд воды объемом V1 уровень воды устанавливается ниже H, а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р1. При доливании в сосуд воды объемом V2 уровень воды поднимается выше H, а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р2. Найдите Н и S1, считая величины S2, V1,V2, Р1, Р2 и плотность воды известными. Атмосферное давление не учитывать.
6. Тонкостенный стакан цилиндрической формы плавает в вертикальном положении дном вниз в сосуде с водой. Высота части стакана, находящейся в воде, равна h, высота всего стакана равна Н. Какой максимальной толщины слой масла можно долить в стакан, чтобы он еще не утонул? Плотность масла и воды известны.
7. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра разной длины, прижатых друг к другу торцами. Цилиндры имеют одинаковые площади поперечного сечения, но изготовлены из материалов с плотностями ρ1 = ρ и ρ2 = 2ρ. Оказалось, что стержень будет находиться в равновесии в горизонтальном положении, если его подвесить на нити, закрепленной на месте стыка. Определите отношение масс цилиндров.
8. Экспериментатору требуется нагреть воду от t1 = 10 °C до температуры кипения при нормальных условиях. Для этого он одновременно включает в сеть два нагревателя. Первый нагреватель, имеющий мощность P1 = 500 Вт, установлен в стеклянном сосуде массой mc,1 = 200 г, содержащем V1 = 0,5 л воды. Второй нагреватель имеет мощность Р2 = 1,2 кВт и установлен в стеклянном сосуде массой mc,2 = 500 г, содержащем V2 = 1 л воды. В каком из сосудов вода нагреется быстрее? Найдите время, необходимое для нагревания воды до температуры кипения в каждом из сосудов. Считать начальные температуры воды и сосудов равными, потерями теплоты пренебречь.
Удельная теплоемкость воды св = 4200 Дж/(кг∙°С), удельная теплоемкость стекла сс = 840 Дж/(кг∙°С).
9. В сосуд, где находится вода при температуре tв = 90 °C, помещают нагретый стальной брусок массой, равной массе воды. Найдите начальную температуру стального бруска, если известно, что после прекращения кипения в сосуде установилась температура t = 100 °C и уровень воды остался первоначальным.
Удельная теплоемкость воды св = 4200 Дж/(кг∙°С), удельная теплоемкость стали сст= 460 Дж/(кг∙К), удельная теплота парообразования воды Lв = 2,26–106 Дж/кг при температуре кипения, плотность стали ρст = 7800 кг/м3, плотность воды ρв = 1000 кг/м3. Потерями теплоты на нагревание сосуда и окружающего пространства и изменением плотности воды при нагревании пренебречь.
10. Из проволоки постоянного поперечного сечения изготовлен квадрат ABCD. При подключении источника постоянного напряжения при помощи проводов с малым сопротивлением по сравнению с сопротивлением проволоки к соседним вершинам квадрата А и В полная сила тока в цепи равна 64 мА. Какой силы ток будет протекать по стороне AD, если тот же источник напряжения подключить к вершинам А и С?
