3.2. Специфика уравнений авторегрессии со скользящим средним (ARMA)
Помимо авторегрессионных моделей нам необходимо также познакомиться и с моделями со скользящим средним в остатках, которые в англоязычной литературе обычно называются словосочетанием Moving Average. Полезность моделей со скользящим средним в остатках обусловлена тем, что для стационарного ряда предсказываемую переменную Yt можно представить в виде линейной функции прошлых ошибок (отклонений прогнозов от их фактических значений). Следует иметь в виду, что термин «скользящая средняя» в данном случае не является синонимом скользящей средней, применяемой, например, для сезонного сглаживания уровней динамического ряда. При этом модель со скользящим средним в остатках 1-го порядка кратко обозначается как МА(1), а в виде формулы она приобретает следующий вид:
Объединение в одной модели авторегрессионного процесса AR и модели со скользящим средним в остатках МА приводит к созданию более экономичной модели с точки зрения количества используемых параметров. Эту объединенную модель в англоязычной литературе кратко называют ARMA. Эта аббревиатура произошла от словосочетания Auto Regressive — Moving Average, что в переводе означает «авторегрессионный процесс со скользящим средним в остатках».
Порядок в этой модели в буквенной форме принято обозначать как ARMA(p, q), где р — величина порядка авторегрессионного процесса, a q — величина порядка процесса со скользящим средним в остатках. Например, модель ARMA(2; 1) фактически представляет собой комбинацию модели AR(2) с моделью МА(1), т. е. в одной модели объединена авторегрессионная модель 2-го порядка с моделью со скользящим средним в остатках 1-го порядка. В результате модель ARMA(2; 1) приобретает следующий вид:
Чтобы объединенная модель ARMA(2; 1) была более понятна, ее можно задать в виде двух уравнений. Так, для AR(2) формула будет иметь вид
в то время как уравнение для МА(1) можно представить в следующем виде:
Следовательно, формулу (3.4) модели ARMA(2; 1) можно получить путем вычитания из формулы (3.5) расчетного параметра Ое, из левой части уравнения (3.6).
3.3. Коррелограмма и идентификация лаговых переменных в уравнениях AR и ARMA
При практическом построении модели ARMA(/? q) наиболее трудным является определение параметров ряд, т. е. определение оптимального количества лагов. При этом инструментами для нахождения соответствующих лаговых переменных являются автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция.
Программа EViews позволяет довольно быстро найти оптимальные параметры р и q для модели ARMA, для этого используется коррелограмма зависимости между различными лагами временного ряда с ежемесячными курсами американского доллара к российскому рублю.
Алгоритм действий № 5 Как построить коррелограмму в EViews
Шаг 1. Выбор основных опций для построения коррелограммыС этой целью загрузим в EViews ежемесячные данные по курсу доллара (столбец с данными обозначим как USDollar) в соответствии с алгоритмом действий № 2 «Импорт данных и создание рабочего файла в EViews», изложенным в главе 1.
Далее строим коррелограмму, тем более что в EViews сделать это довольно просто. С этой целью в Workfile (рабочем файле) этой программы открываем файл USDollar. После чего в файле USDollar нам необходимо выбрать опции VIEW/CORRELOGRAM, а в появившемся окне (рис. 3.1) CORRELOGRAM SPECIFICATION (спецификация коррелограммы) оставить заданные по умолчанию опцию LEVEL (исходный уровень) и опцию LAGS ТО INCLUDE (максимальная величина лага, включенного в коррелограмму). В результате у нас получится коррелограмма исходных уровней (фактических значений курса доллара) временного ряда USDollar с величиной лага от 1 до 36.
Шаг 2. Дополнительные возможности, которые можно использовать для построения коррелограммы
Если бы мы выбрали, например, опцию 1ST DIFFERENCE (разница исходных уровней 1-го порядка) или 2ND DIFFERENCE (разница исходных уровней 2-го порядка), тогда была бы построена коррелограмма не исходных уровней временного ряда, а соответственно их первых и вторых разностей. Например, исходный уровень для курса доллара по состоянию на апрель 2010 г. был равен 29,2886 руб. В то время как разница исходных уровней 1-го порядка на эту же дату оказалась равна -0,0752 руб. (т. е. по сравнению с прошлым месяцем курс доллара снизился на 7,52 коп.), а разница исходных уровней 2-го порядка составила 0,5094 руб. (т. е. падение курса доллара по сравнению с предыдущим месяцем уменьшилось на 50,94 коп.).
В полученной коррелограмме (см. табл. 3.1) можно увидеть, как меняются коэффициенты автокорреляции (Autocorrelation, или АС) и частной автокорреляции (Partial Correlation, или РАС) в зависимости от изменения величины лага. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Так, коэффициент автокорреляции уровней первого порядка измеряет корреляционную зависимость между динамикой курса доллара временного ряда t и динамикой курса доллара временного ряда t-1, т. е. в нашем случае измеряется коэффициент автокорреляции при лаге в один месяц. В свою очередь коэффициент автокорреляции уровней второго порядка измеряет зависимость между динамикой курса доллара временного ряда t и динамикой курса доллара временного ряда t- 2, т. е. при лаге в два месяца. И так далее, вплоть до коэффициента автокорреляции уровней 36-го порядка, измеряющего зависимость между динамикой курса доллара временного ряда t и динамикой курса доллара временного ряда t-36, т. е. с лагом в 36 месяцев.
При этом коэффициент автокорреляции уровней k-го (т. е. 1-го, 2-го…., 36-го) порядка находится в EViews по следующей формуле:
Следует заметить, что коэффициент автокорреляции, рассчитываемый в EViews, несколько отличается от обычно вычисляемого коэффициента автокорреляции. Дело в том, что в EViews с целью упрощения вычислений в качестве Y- взята средняя для всей выборки, в то время как обычно для рядов Yt и Yt_k берутся свои средние.
Частной автокорреляционной функцией называют серию частных коэффициентов автокорреляции г, измеряющих связь между текущим лагом временного ряда Yt и предыдущими лагами временного ряда Yt-1, Yt_2…., Yt_k_1 с устранением влияния других промежуточных временных лагов. Вполне естественно, что при нулевом лаге коэффициент частной корреляции ρ0 = 1, а при лаге k = 1 ρ1 = r1, т. е. коэффициент частной корреляции равен коэффициенту автокорреляции.
