При публиковании работы, содержащей столько непреодолимых трудностей, я должен принести извинения за то, что исследования не обнаружили сколько-нибудь близкую возможность удовлетворительного решения противоречий, обсужденных в главе X, или возможности лучшег® проникновения в природу множеств. Повторяющееся обнаружение ошибок в решениях, которые в свое время меня удовлетворяли, привело к тому, что эти проблемы стали казаться таквгми, что в них только скрывается кажущаяся удовлетворительной теория, которая при достаточно долгом размышлении могла быть создана. Поэтому я считаю более правильным просто отметить трудности, чем ждать, пока я буду убежден в истинности некоторых, возможно полностью неверных, положений.
Я должен выразить свою благодарность директору Университетского издательства и его секретарю г-ну Р. Т. Райту за помощь !и содействие в отношении данного томо.
Лондон, декабрь 1902 г.
ВЕЙЛЬ
(1885-1955)
Гермап Вейль родился в небольшом городке Эльмсхорн вблизи Гамбурга, в семье адвоката. Директором гимназии, где он учился, был двоюродный брат Давида Гильберта; именно в Геттингенский университет, где профессором был Гильберт, поступил в 1904 г. Вейль. Оп учился четыре года, а затем стал приват-доцентом университета. Один год Вейль провел в Мюнхене, у Клейна и Зоммерфельда; однако, женившись в 1913 г., Вейль переехал в Цюрих, где получил кафедру в Высшей федеральной технической школе.
Разносторонний по интересам Вейль интенсивно работал в различных областях математики. Вместе с голландским математиком Броуэром Вейль возглавил так называемое интуиционистское направление в математике, противостоящее формализму Гильберта. Быть может, наибольшее конкретное значение имеют работы Вейля по теории групп и инвариантов. Ныне эта область математики получила исключительное значение дли фивики, когда наиболее общие физические законы мы стремимся связывать со свойствами симметрии частиц, пространства и времени. В физике Вейль работал в области теории относительности и квантовой механики. Владея блестящим литературным стилем, Вейль много писал по методологии науки и философским проблемам естествознания. В 1930 г. Вейль принял кафедру Гильберта в Геттингене. Но это время — время наступления фашизма — было тяжким для него. В 1933 г. Вейль покидает Германию и переезжает в США. Там он становится сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, где уже работали Эйпштейп, Вигнер и Нейман.
В 1951 г. Вейль вернулся в Европу, в Цюрих, и его лебединой песней стала его замечательная популярная книга «Симметрия» (1952). Вскоре после своего 70-летнего юбилея Вейль умер.
Мы приводим предисловие к книге Вейля «Теория групп и квантовая механика» (1928) и предисловие к его итоговой монографии «Классические группы, их инварианты и представления» (1939).
ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
В последнее время все более и более признается важность теоретпко-группового подхода к общим законам квантовой теории. Поскольку в течение ряда лет я был глубоко поглощен теорией представлений непрерывных групп, мне казалось существенным и важным представить отчет о достижениях математиков, работающих в этой области, в виде, соответствующем требованиям квантовой физики. Дополнительный толчок этому дает тот факт, что с чисто математической точки зрения уже невозможно проводить столь резкой грани между конечными и непрерывными группами при обсуждении теории их представлений так, как ято до сих пор делалось. Желание показать на примерах некоторых наиболее важных случаев, как возникающие в теории групп понятия находят свое приложение к физике, привело к необходимости включить короткое введение в основы квантовой физики, поскольку ко времени написания этой книги не было такого изложения, к которому я мог бы отослать читателя. Эта книга, если она достигнет своей цели, должна дать читателю возможность изучить основы теории групп и квантовой механики, так же как и понять отношение, существующее между этими двумя предметами. Математические части книги написаны, имея в виду интересы физика, так же как и обратное. Я специально подчеркиваю «взаимность» между представлениями симметричных групп перестановок и полной линейной группой. Этой зависимостью в физической литературе до сих пор пренебрегали, несмотря на то, что она естественно следует из концептуальной структуры квантовой механики.
Существует, по-моему, четко различимая параллель между современными достижениями математики и физики. Математика Запада за последние века отошла от точки зрения греков и пошла по пути, который, по-видимому, возник в Индии и был затем передан нам, с некоторыми добавлениями, арабами. В этом подходе понятие числа логически предшествует понятиям геометрии. В результате мы систематически прилагаем это далеко развитое понятие о числе ко всем отраслям науки, безотносительно к тому, насколько оно соответствует таким частным приложениям. Однако совремепная тенденция в математике несомненно направлена в сторону возврата к позициям греков. Теперь мы смотрим на каждую отрасль математики, как определяющую собственную область количественных понятий. Современный алгебраист рассматривает континуум вещественных или комплексных чисел лишь как одно «поле» среди многих. Современная аксиоматика проективной геометрии может рассматриваться как соответственное проявление той Яче тенденции в области геометрии. Эта новая математика, включающая современную теорпю групп и «абстрактную алгебру», движется силой, отличной от духа «классической математики», высшее выражение которой мы находим в теории функций комплексного переменного. Континуум вещественных чисел сохранил свою древнюю прерогативу в физике для выражения результатов физических измерений. Но справедливо можно утверждать, что сущность новой квантовой механики Гейзенберга — Шредингера — Дирака заключается в том, что она связывает с каждой физической системой набор величин, составляющих некоммутативную алгебру в точном математическом смысле, элементами которой являются сами физические величины.
Цюрих, август 1928 г.
КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, ИХ ИНВАРИАНТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
С тех пор как мне удалось в 1925 г., комбинируя инфинитезимальныс методы Э. Картана и интегральный метод И. Шура, определить характеры полупростых непрерывных групп, я поставил своей целью вывести главные результаты для наиболее важных из этих групп, в частности, для полной группы невырожденных линейных преобразований и для ортогональной группы, прямым алгебраическим построением. Благодаря, главным образом, работам и сотрудничеству Р. Броуэра в течение последних нескольких лет, я в настоящее время обладаю всеми необходимыми для этого средствами. Задачу можно точно охарактеризовать следующим образом: разложить пространство тензоров заданного ранга на его неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований в полояхениом в основу векторном пространстве. Другими словами, предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся «величин», которые можно приготовить из материала тензоров прп режиме той или иной группы. Такова проблема, образующая один из стержней этой книги, и, в соответствии с алгебраическим подходом, решение ее разыскивается не только в поле вещественных чисел, на котором анализ и физика разыгрывают свои сражения, но и в произвольном поле характеристики нуль. Однако я не пытался охватить поля простой характеристики.
Понятие алгебраического инварианта абстрактной группы у не может быть сформулировано, покуда мы не владеем понятием представления Я группы линейными преобразованиями, или эквивалентным понятием «величины типа St». Поэтому проблема нахождения всех представлений или величин группы у должна логически предшествовать проблеме нахождения алгебраических инвариантов этой группы. (По поводу понятии величин и инвариантов более общего характера и их тесной взаимосвязи отсылаем читателя к главе I, где эрлангенская программа Клейна пересказана в несколько более абстрактных терминах.) Второй моей целью является — дать современное введение в теорию инвариантов. Уже давно пора омолодить классическую теорию инвариантов, впавшую почти в окаменелое состояние. Оправданием тому, что я придерживался значительно более копсервативпого стиля, чем это, вероятно, казалось бы желательным нашему молодому поколению алгебраистов, является нежела-ппе жертвовать прошлым; но даже при этом, надеюсь, я достаточно решительно прокладывал путь к современным концепциям. Я не претендовал на то, чтобы написать монографию по современной теории инвариантов: систематическое руководство должно было бы содержать много вещей, обойденных здесь молчанием.
