Как увидит читатель,-введение этого сжатого языка сопровождается «рассуждениями» особого типа, принадлежащими к так называемой Метаматематике. Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лпшь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и математические «рассуждения» будут обычно устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст будет текстом другого* данного типа. В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами (их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: «Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары»). Но очень скоро мы встречаем примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Если выше мы устранили возражение против употребления нумерации при описании формализованного языка, то теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку теперь как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы черпаем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном омысле. Проще, по-видимому, сказать, что можно было бы обойтись без математических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования «дедуктивных критериев» мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика ие может быть записана вся полностью, и потому в конце концов приходится питать доверие к тому, что можпо назвать здравым смыслом математика,— доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле пля численной таблице и которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами.
Итак, мы очень скоро покинем формализованную математику, но тем не менее будем заботиться о том, чтобы отмечать дорогу, по которой к ней можно вернуться. Льготы, приносимые первыми же «вольностями речи» такого рода, позволят нам написать остальную часть Трактата (и, в частности, сводку результатов книги I) так, как пишутся на практике все математические тексты, т.е. отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные формализации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление может служить наиболее известным примером. Часто даже мы будем пользоваться обычным языком еще более смело, с произвольно вводимыми вольностями речи, с полным опущением мест, относительно которых предполагается,, что мало-мальски искушенный читатель способен их легко восстановить, с указаниями, не переводимыми на формализованный язык и служащими для облегчения этого восстановительного процесса. Другие места, равно непереводимые, будут содержать комментарии, назначение которых, сделать более ясным развитие идей, с обращением в случае необходимости к интуиции читателя; использование риторических средств становится поэтому законным, лишь бы оставалась неизменной возможность-формализации текста. Первые примеры такого стиля будут даны уже в: этой книге Трактата, в гл. III, излагающей теорию целых и кардинальных чисел.
Итак, написанный по аксиоматическому методу и сохраняющий всюду в виду, как некий горизонт, возможность полной формализации, наш Трактат претендует на полную строгость — претензия, которую не опровергают нп изложенные выше соображения, пи списки опечаток, с помощью которых мы исиравляли и будем исправлять ошибки, время от времени вкрадывающиеся в текст. Благодаря тому, что мы постоянно стараемся держаться настолько близко к формализованному тексту, насколько это представляется возможным без невыносимых длиннот, проверка в принципе легка; ошибки (неизбежные при подобном предприятии) можно обнаружить без больших затрат времени, и риск, что они сделают недействительными главу или целую книгу Трактата, остается весьма незначительным.
В том же реалистическом духе мы рассматриваем здесь вопрос о непротиворечивости — один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встающих уже с самого начала*, при создании формализованных языков (см. «Исторический очерк»). Та или иная математическая теория называется противоречивой, если какая—либо теорема доказывается в пей вместе со своим отрицанием. Тогда из обычных правил умозаключения, лежащих в основе правил синтаксиса формализованных языков, можно вывести следствие, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в этой теории, теряющей тем самым всякий интерес. Если, таким образом, мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло.
Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в выходящие за пределы нашей компетенции споры о самом понятии уверенности, заметим, что математика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некоторая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением 0=7^0. Но метаматематика может пытаться с помощью способов рассуждения, заимствованных у математики, изучить строение этого формализованного текста, предполагаемого записанным, и в итоге ухитриться «доказать» невозможность такого текста. В самом деле, такие «доказательства» были даны для некоторых частных формализованных языков, менее богатых, чем тот, который мы хотим ввести, но достаточно богатых для того, чтобы на них можно было записать значительную часть классической математики. Можно спросить, правда, что именно «доказывается» таким путем; ведь если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения к материальным объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка можно было «доказать» посредством рассужде-ппй, формализуемых в языке, менее богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема математики, принадлежащая Гёделю, говорит, что это невозможно для языка того типа, который мы хотим описать, т.е. для языка, достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики.
С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) метаматематическая часть рассуждения (ср. гл. 1, § 2, п° 4) настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть ее сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, еще ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда.
Если бы дело и сложилось иначе, то, конечно, замеченное противоречие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно было бы видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми мы наиболее дорожим. И ясно, достичь этого тем болео легко, что применение аксиоматического метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и отделять от них следствия более определенно. Впрочем, приблизительно это д произошло недавно, когда устранили «парадоксы» Теории: множеств принятием формализованного языка, по существу эквивалентного с описываемым здесь нами. Подобную ревизию следует предпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.
