Рис. 10.15. Танглоид. Дальние концы трех нитей привязаны к чему-то неподвижному. Дощечку или картонку, сквозь которую продеты нити, поворачивают вокруг оси, идущей параллельно нитям, на один или несколько полных оборотов (360°, 720° и т. д.). Перекрученные в результате нити требуется распутать, обводя их по очереди вокруг дощечки, но не поворачивая ее саму. Задача легко решается при закручивании на четное число полных оборотов и не имеет решения для нечетного
В одном полном повороте есть что-то, что пропадает в двух полных поворотах.
Поле со спином 1/2 – это тоже наборы из нескольких «одинаковых» колебательных систем, снабженных различными метками. Но из-за специфики полуцелого значения требуется, чтобы они складывались в такое «цельное и осмысленное», которое ведет себя при поворотах похоже на дощечку-танглоид: меняется при произвольных поворотах так, что не остается неизменным при одном полном повороте на 360° вокруг любой оси, но не меняется при двух полных поворотах. Только это должны быть не дощечки с нитками, а какие-то наборы чисел – если такие найдутся, то их поведение при поворотах и определит, как ведут себя при поворотах колебательные системы поля с различными метками.
Но что за объекты, построенные из чисел, могут быть чувствительны к разнице между одним и двумя полными поворотами? Скажем, компоненты стрелки/вектора для этого совершенно не годятся: после одного полного поворота вектор остается таким же, каким был, и никаких отличий двух поворотов от одного он почувствовать не в состоянии. Тем не менее существуют математические объекты, которые можно научить вести себя при поворотах так, чтобы они возвращались в исходное состояние только после двух полных оборотов (а после одного полного – нет). Их можно придумать и для нашего трехмерного пространства, и для четырехмерного пространства, и для четырехмерного пространства-времени[228]. Они называются спинорами. Каждый спинор – это, конечно, тоже набор чисел, но их преобразование при поворотах таково, что поворот на 360° не возвращает их в исходное состояние, а приводит к умножению их на минус единицу. Требуется изящная математика, чтобы выяснить, набор из скольких чисел можно обучить таким изысканным манерам. Не вдаваясь в полуторастепенные детали, можно пользоваться следующим правилом: если сами повороты выполняются в пространстве размерности d и это число d четное, то спинор составлен из 2d/2 чисел. В четырехмерном пространстве, или пространстве-времени, т. е. при d = 4, это дает 22 = 4 числа. Получается столько же чисел, сколько составляют вектор в четырехмерном пространстве, но это совсем другие четверки чисел: при поворотах они изменяются по иным законам. Если размерность пространства нечетна, то способ вычисления слегка меняется: спинор состоит из 2(d – 1)/2 чисел. Для трехмерного пространства это дает 21 = 2. Это значит, что пары чисел можно сделать чувствительными к поворотам в трехмерном пространстве таким образом, чтобы любой поворот на 360° приводил к умножению на минус единицу.
Итак, в четырехмерном пространстве-времени поле спина 1/2 имеет четыре компоненты. Каждая колебательная система в этом поле повторена четыре раза и копии снабжены такими метками, что вся четверка меняется при поворотах в пространстве-времени так, как это делают спиноры; в этом смысле четверки и составляют «цельное и осмысленное». Кванты этого поля – электроны и их античастицы (позитроны). Они делят между собой четыре составляющие спинора: две сообщают об электронах, а две другие – о позитронах. Сообщают же они, что каждый электрон несет внутри себя количество вращения, никак не связанное с пребыванием в атоме или где бы то ни было еще, а определяемое самим фактом его, электрона, существования. Интенсивность вращения при этом однозначно фиксирована и для электронов, и для позитронов: она (вспоминая общее правило) равна s (s + 1) ħ2, где сейчас надо взять s = 1/2.
Спин электрона равен 1/2
Одну вторую из последнего равенства и называют спином электрона. Спин электрона – это квантовое число, задающее его внутреннее количество вращения и равное 1/2. Теперь понятно, как обстоит дело с внутренней свободой электрона: для компоненты спина, как всегда, возможны значения из интервала от – s до s с шагом 1, но сейчас интервал этот получается не слишком большим: он включает только сами числа –1/2 и 1/2 (расстояние между ними как раз равно единице). Таким разнообразием внутренней жизни и может похвастаться электрон: демонстрировать компоненту спина –1/2 ħ или 1/2 ħ вдоль любого выбранного направления.
Это и решает «загадку удвоения» числа состояний для электронов в атомах. Периодическая таблица элементов спасена. Как именно организация ее клеток в периоды определяется свойствами состояний (n, , m) «от Шрёдингера» и спином, несколько подробнее обсуждается в добавлениях к этой прогулке.
Спин электрона проявляет себя каждый раз, когда электрон оказывается в магнитном поле. Из-за наличия и спина, и заряда электрон реагирует на магнитное поле так же, как реагировал бы магнит: стремится ориентироваться вдоль магнитного поля. Такой магнит всегда одинаково сильный, ведь значение s фиксировано числом 1/2. А когда электрон находится в атоме, он, кроме того, проявляет свойства магнита во всех случаях, когда устраивается там в состоянии с ненулевым количеством вращения (это означает, что буква равна не нулю, а одному из значений 1, 2, 3, …). Это уже похоже на факт из обычной жизни: когда электрические заряды вращаются – в обычном, а не ускользающем «квантовом» смысле, – они создают магнит. Электрон в атоме не вращается вокруг атомного ядра точно в том же смысле, но его способ пребывания в атоме с любым , кроме нуля, тоже создает магнит – тем более сильный, чем больше это число . Таким образом, у электрона в атоме есть два способа проявить себя в качестве магнита: за счет интенсивности вращения , относящейся к состоянию в атоме, и за счет собственного спина, никак с атомом не связанного. По причинам, которые спрятаны довольно глубоко, спин электрона создает магнит в два раза эффективнее, чем количество вращения электрона в атоме. Это выражается в том, что формулы, по которым значение буквы s (да, равное 1/2) и значение буквы (уж какое случится) определяют силу получающегося магнита, практически одинаковы, но в случае спина там неожиданно появляется лишний множитель 2, усиливающий эффект спина в создании магнита.
В магнитном
