К проблемам гидростатики обращается в своих «Вопросах к четырем книгам о Земле и небе Аристотеля» Альберт Саксонский (ум. в 1390 г.). В начале XV в. вопросами гидростатики (проблемой удельного веса) занимается Николай Кузанский. Его взгляды в определенной степени отражают знакомство с трактатом псевдо-Архимеда, хотя текст этого сочинения полностью лишен математических доказательств, столь характерных для этого трактата.
Однако по-настоящему геометрическая статика возрождается лишь в XVI в. в трудах Федериго Командино и его ученика Гвидо Убальди дель Монте, о которых мы расскажем в следующей главе.
Первое исследование по кинематике в средневековой Европе — трактат Герарда Брюссельского «О движении», написанный в конце XII — начале XIII в.
Развитие кинематики в древности связано с кинематико-геометрическим моделированием движения небесных тел в астрономии, применением движения в геометрии (например, у Архимеда) и развитием общих физико-механических теорий, которое следует главным образом аристотелевской традиции. Все это в той или иной мере отразилось на характере трактата Герарда. Основной интерес Герарда направлен на исследование соотношений между движениями линий, площадей и объемов, которые рассматриваются последовательно в его трактате. Заметим, что, следуя античной традиции, под термином «движение» Герард часто понимает скорость. Говоря о «равных движениях на дуге» и «равных движениях в точке», он, очевидно, имеет в виду скорость равномерного движения. Сравнивая линии двух фигур, Герард вводит принцип соответствия между двумя бесконечными множествами элементов. Этот метод обнаруживает большое сходство с приемом Архимеда, который тот применил в «Послании о методе», хотя этот трактат, по всей вероятности, не был известен в средневековой Европе. В согласии с этим приемом Герард рассматривает линии как совокупности точек, площади — как совокупности линий и т. д. «Если поверхности равны и любые их линии, взятые в том же отношении, равны и если ни одна из так взятых линий не имеет большего движения, чем линии другой поверхности, то и сама поверхность не будет иметь большего движения»{56}. Герард всегда сравнивает перемещения, происходящие за равные промежутки времени.
Герард рассматривает круговые движения точек и вращательные движения поверхностей и тел. Определяя линию как совокупность точек, он утверждает, что прямая движется «одинаково с любой своей точкой, а радиус, вращаясь, «движется одинаково со своей серединой».
Некоторые исследователи считают, что в самом предположении Герарда о равенстве средней скорости движения радиуса и скорости движения его средней точки (при вращении) уже содержится доказательство теоремы о средней скорости, которая впоследствии представителями Оксфордской школы была сформулирована следующим образом.
«Равномерно ускоряющееся или замедляющееся движение эквивалентно равномерному движению, происходящему со средней скоростью».
Герард говорит и о неравномерном движении в пространстве. Скорости (круговые пути, описываемые точками вращающегося радиуса) меняются от нулевой (начало радиуса) до максимальной (его конец).
Кинематическое исследование Герарда Брюссельского явилось спустя столетие отправным пунктом для исследований, принадлежащих ученым Мертон-колледжа в Оксфорде. Наибольшая активность мертонцев относится к 1328-1350 гг.
Родоначальником Оксфордской школы был Томас Брадвардин. В «Трактате о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» («Tractatus proportiomim sen proportionibus velocitatum in notibus») Брадвардин критикует мнение Аристотеля, согласно которому скорость v пропорциональна отношению P/R (v ∞ P/R). При P = R скорость равна единице, в то время как она должна равняться нулю, ибо движение прекращается. По Аристотелю, при постоянном R справедлива пропорция V1/V2 = P1/P2, а при постоянном Р — пропорция V1/V2 = R1/R2. Не учитывая указанную выше оговорку Аристотеля, Брадвардин возражает ему, отмечая, что в этом случае при убывании Р до нуля (или возрастании R до бесконечности) скорость также убывает до нуля. Следовательно, любая сколь угодно малая сила P может двигать любое сколь угодно большое тело R, но со скоростью, меньшей в соответствующее число раз. Кроме того, опыт показывает, что два человека могут двигать тело со скоростью, значительно большей, чем двойная скорость, сообщаемая одним человеком.
Брадвардин следующим образом формулирует свой основной закон скоростей: «Отношение скоростей при движениях меняется соответственно отношению движущих сил к силам сопротивления»{57}.
Закон Брадвардина можно записать в виде
По Аристотелю, скорость удвоится, утроится и т. д. при удвоении, утроении и т. д. отношения P/R.
Брадвардин же считал, что закономерность состоит не в простом удвоении, утроении и т. д., а в образовании составного — двойного, тройного и т. д. — отношения P/R, т. е. (P/R)2, (P/R)3 …. Иными словами, скорость изменяется
пропорционально не отношению P/R, а его логарифму. Брадвардин показывает, что при этом устраняется ограничение Аристотеля P > R на возможность возникновения движения. Согласно закону Брадвардина, случай P = R имеет смысл, так как логарифм единицы равен нулю. В «Трактате о континууме», написанном между 1328 и 1335 гг., Брадвардин обращается к понятиям времени и движения. Время он рассматривает как бесконечный, последовательный континуум, который измеряет следование и может быть делим до бесконечности. Движение есть прохождение пространственного континуума во временном: линия может быть проходима с разной скоростью. В то же время, предвидя возможные возражения, Брадвардин проводит различие между «качеством движения», т. е. скоростью, и «количеством движения», т. е. его продолжительностью. Движения могут не различаться по «качеству», но различаться по «количеству» (т. е. по продолжительности или кратковременности).
Закон Брадвардина был с одобрением принят многими, хотя и не всеми учеными XIV в. Подчеркнем, что этот закон содействовал укреплению представления о скорости как об отвлеченном отношении, в определение которого не входит ни понятие времени, ни понятие пути.
Фундаментальные понятия кинематики, такие, как мгновенная скорость и ускорение, появляются в XIV в. в связи с исследованием неравномерного движения. Развитие этих идей связано с новым направлением в науке — учением о «широтах форм» или «конфигурации качеств» (оно называлось также учением «о равномерности и неравномерности интенсивностей» или «об интенсификации и ремиссии качеств»). Истоки этого нового направления были связаны со спорами о логико-философском понятии «формы», восходящими к Аристотелю. Учение о «широтах форм» развивалось и в богословии, где обсуждались вопросы об «интенсификации и ремиссии» благодати, и в математике и механике, в применении к которым это учение содержало прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения.
Математизация учения «об интенсивности качеств» происходила как в арифметико-алгебраической форме — в том виде, как это делалось учеными Оксфордской школы и в Мертон-колледже XIV в., так и в геометрической форме, как это делали представители Парижской школы. Итальянские ученые XV—XVI вв. сочетали оба эти пути.
Направление Оксфордской школы получило в 30-х годах XIV в. название «учения о калькуляциях», а его авторы — «калькуляторов». «Учение о калькуляциях» разрабатывалось в труде Уильяма Хейтесбери «Правила решения софизмов», в трактате Ричарда Суисета (Суайнсхеда) «О калькуляциях», в работе Джона Дамблтона «Сумма логики и физики».
Представители этого направления движение подразделяли на униформное (равномерное) и дифформное (неравномерное). Униформное движение понималось как такое, при котором в равные времена проходятся равные пути; все остальные движения относятся к дифформным. Понятие «интенсивности качества» применялось к скорости, которая рассматривалась как «интенсивность движения».
Ученые Мертон-колледжа определяли скорость через понятие равного промежутка времени. Существенным моментом здесь является то, что в отличие от Герарда Брюссельского и Брадвардина они ввели в это определение понятие «любой». Так, Суисет приводит следующее определение равномерного движения: «Униформное локальное движение (т. е. движение в пространстве) таково, что в любые равные промежутки времени описываются равные пути».
Хейтесбери дает определение равномерно ускоренного движения как такового, которое, «в любую из равных частей времени приобретает равные приращения скорости».
Мгновенной, или «точечной», скоростью в случае дифформного (неравномерного) движения мертонцы называли скорость, определяемую в любое мгновение по линии, которую прочертила бы наиболее быстро движущаяся точка, если на протяжении времени она стала бы двигаться униформно (равномерно), с тем же градусом скорости, с которым она движется в это мгновение, — какое бы мгновение ни взять.
