Фиг. 24.6. Магнитное поле в волноводе.
Кроме электрических полей, существуют и магнитные поля, которые тоже движутся волнообразно. Мы не будем сейчас заниматься выводом выражений для них. Ведь c2СXВ = dE/dt, и линии В циркулируют вокруг областей, где dE/dt — наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и минимумом Е. Петли В лежат параллельно плоскости xz и между гребнями и впадинами Е (фиг. 24.6).
§ 3. Граничная частота
Уравнение (24.16) для kz на самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:
(24.20)
Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении —z), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.
Наше уравнение для kzсообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям kg, т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших w величина k не станет равной w/с — тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота w станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда w перевалит через pс/а или когда l0 станет больше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты wc=pс/а, волновое число kz(а также lg) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что kzдолжно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые kzтоже представляют какую-то волну?
Предположим, что w действительно меньше wc; тогда можно написать
(24.21)
где k' — действительное положительное число
(24.22)
Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для Еy, то надо будет написать
(24.23)
что можно также представить в виде
(24.24)
Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеблется как eiwt, a no z меняется как e±k'z. Оно плавно убывает или возрастает с z, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при k', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.
Итак, при частотах ниже wс—pс/а волны вдоль трубы не распространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка i/k'. По этой причине частоту wсназывают «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже wc число k' мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если со намного меньше wс, коэффициент k' в экспоненте равняется p/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в е раз на расстоянии а/p, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.
Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе — появление мнимого волнового числа kz. Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн
Фиг. 24.7. Изменение Еy с ростом z при w<<wc.
Итак, если в любой задаче на волны k при какой-то частоте становится мнимым, это означает, что форма волны меняется — синусоида переходит в экспоненту.
§ 4. Скорость волн в волноводе
Та скорость волн, о которой мы пока говорили,— это фазовая скорость, т. е. скорость узлов волны; она есть функция частоты. Если подставить (24.17) в (24.18), то можно написать
(24.25)
Для частот выше граничной (для которых бегущая волна существует) wc/w меньше единицы, vфаз— действительное число, большее скорости света. Мы уже видели в гл. 48 (вып. 4), что фазовые скорости, большие скорости света, возможны, потому что это просто движутся узлы волн, а не энергия и не информация. Чтобы узнать, как быстро движутся сигналы, надо подсчитать быстроту всплесков или модуляций, вызываемых интерференцией волн одной частоты с одной или несколькими волнами слегка иных частот [см. гл. 48 (вып. 4)]. Скорость огибающей такой группы волн мы назвали волновой скоростью; это не w/k, a dw/dk:
(24.26)
Дифференцируя (24.17) по w и переворачивая, чтобы получить dw/dk, получаем
(24.27)
Это меньше скорости света.
Среднее геометрическое между vфази vгр в точности равно с — скорости света:
(24.28)
Это любопытно, ведь сходное соотношение мы встречали и в квантовой механике. У частицы с любой скоростью (даже у релятивистской) импульс р и энергия U связаны соотношением
(24.29)
Но в квантовой механике энергия — это hw, а импульс —это h/l’, или hk; значит, (24.29) можно записать так:
(24.30)
или
(24.31)
а это очень похоже на (24.17). . . Интересно, не правда ли? Групповая скорость волн — это также скорость, с какой энергия передается по трубе. Если вам нужно найти поток энергии сквозь волновод, надо умножить плотность энергии на групповую скорость. Если среднее квадратичное электрическое поле равно Е0, то средняя плотность электрической энергии равна e0Е20/2. Кроме этого, часть энергии связана с магнитным полем. Мы не будем здесь это доказывать, но в любой полости или трубе магнитная и электрическая энергии равны между собой, так что полная плотность электромагнитной энергии равна e0Е20. А мощность dU/dt, передаваемая волноводом, поэтому равна
(24.32)
(Позже мы рассмотрим другой, более общий способ вычисления потока энергии.)
§ 5. Как наблюдать волны в волноводе
Энергию в волновод можно ввести своего рода «антенной», воспользовавшись для этого, например, вертикальной проволочкой, или «штырем». В наличии волн в волноводе можно убедиться, отведя из него часть электромагнитной энергии с помощью приемной «антенки» — тоже какого-нибудь проволочного штыря или петельки. На фиг. 24.8 показан волновод, часть стенок на рисунке выхвачена, чтобы были видны входной штырь и приемный «пробник».
Фиг. 24.8. Волновод с входным штырем и пробником.
Входной штырь можно подключить через коаксиальный кабель к генератору сигналов, а приемный пробник таким же кабелем можно соединить с детектором. Обычно удобнее вводить пробник через длинную прорезь в стенке волновода. Тогда можно им водить вдоль волновода и замерять поле в разных местах.
Если подать с сигнал-генератора частоту w, большую, чем граничная частота wс, то по волноводу от штыря побегут волны. Если волновод бесконечной длины, то никаких волн, кроме этих, не будет (чтобы сделать его бесконечным, надо на конце его поставить тщательно сконструированный поглотитель, который не допустит отражения от этого конца). Тогда поскольку детектор измеряет поле близ пробника, усредненное по времени, то он будет воспринимать сигнал, не зависящий от положения в волноводе; на выходе будет регистрироваться величина, пропорциональная передаваемой мощности.
